Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中AA₁=AD=1，E為CD中點．
（Ⅰ）求證：B₁E⊥AD₁；
（Ⅱ）在棱AA₁上是否存在一點P，使得DP∥平面B₁AE？若存在，求AP的長；若不存在，說明理由．
（Ⅲ）若二面角A-B₁E-A₁的大小為30°，求AB的長．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意及所給的圖形，可以A為原點，，，的方向為X軸，Y軸，Z軸的正方向建立空間直角坐標系，設(shè)AB=a，給出圖形中各點的坐標，可求出向量與的坐標，驗證其數(shù)量積為0即可證出兩線段垂直．
（II）由題意，可先假設(shè)在棱AA₁上存在一點P（0，0，t），使得DP∥平面B₁AE，求出平面B₁AE法向量，可法向量與直線DP的方向向量內(nèi)積為0，由此方程解出t的值，若能解出，則說明存在，若不存在符合條件的t的值，說明不存在這樣的點P滿足題意．
（III）由題設(shè)條件，可求面夾二面角的兩個平面的法向量，利用兩平面的夾角為30°建立關(guān)于a的方程，解出a的值即可得出AB的長
解答：解：（I）以A為原點，，，的方向為X軸，Y軸，Z軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖，
設(shè)AB=a，則A（0，0，0），D（0，1，0），D₁（0，1，1），E（，1，0），B₁（a，0，1）
故=（0，1，1），=（-，1，-1），=（a，0，1），=（，1，0），
∵•=1-1=0
∴B₁E⊥AD₁；
（II）假設(shè)在棱AA₁上存在一點P（0，0，t），使得DP∥平面B₁AE．此時=（0，-1，t）．
又設(shè)平面B₁AE的法向量=（x，y，z）．
∵⊥平面B₁AE，∴⊥B₁A，⊥AE，得，取x=1，得平面B₁AE的一個法向量=（1，-，-a）．
要使DP∥平面B₁AE，只要⊥，即有•=0，有此得-at=0，解得t=，即P（0，0，），
又DP?平面B₁AE，
∴存在點P，滿足DP∥平面B₁AE，此時AP=
（III）連接A₁D，B₁C，由長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁及AA₁=AD=1，得AD₁⊥A₁D．
∵B₁C∥A₁D，∴AD₁⊥B₁C．
由（I）知，B₁E⊥AD₁，且B₁C∩B₁E=B₁．
∴AD₁⊥平面DCB₁A₁，
∴AD₁是平面B₁A₁E的一個法向量，此時=（0，1，1）．
設(shè)與所成的角為θ，則cosθ==
∵二面角A-B₁E-A₁的大小為30°，
∴|cosθ|=cos30°=即=，解得a=2，即AB的長為2
點評：本題考查利用空間向量這一工具求二面角，證明線面平行及線線垂直，解題的關(guān)鍵是建立恰當?shù)淖鴺讼导翱臻g位置關(guān)系與向量的對應(yīng)，此類解題，方法簡單思維量小，但計算量大，易因為計算錯誤導致解題失敗，解題時要嚴謹，認真，利用空間向量求解立體幾何題是近幾年高考的熱點，必考內(nèi)容，學習時要好好把握