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（本小題12分）

如圖，在三棱錐中，側面、是全等的直角三角形，是公共的斜邊，且，，另一個側面是正三角形．

（I）求證：；

（II）求二面角的余弦值；

（III）在直線是否存在一點，使直線與面成角？若存在，確定的位置；若不存在，說明理由．

（1）見解析（2）（3）


解析:

該幾何體可以視作從正方體中取出而得，如圖所示．因此采用補形的思想方法入手解答．

（I）作面于，連結，，，則四邊形是正方形，且，以為原點，以所在直線為軸，以所在直線為軸建立空間直角坐標系如圖．                                              1分

則，，，，

易得，                          3分

（II）設平面的法向量為，則由且

知

則可取                       5分

同理可求得平面的一個法向量為       6分

由圖可以看出，二面角的大小應等于

則，即所求二面角的余弦值為．    8分

（III）設是線段上一點，則，．

易知平面的一個法向量可取，要使直線與平面成 角，則與的夾角為或，                           

所以                 10分

解得，則

故線段上存在點，且時，直線與平面成角     12分

練習冊系列答案
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（II）過作一條與軸不垂直的直線，分別與曲線、依次交于、、、四點（如圖），若為的中點，為的中點，問是否為定值？若是，求出定值；若不是，請說明理由．

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(2)求出點的橫坐標關于n的表達式并用數學歸納法證明

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如圖4：求的算法的

程序框圖。⑴標號①處填        。標號②處填        。⑵根據框圖用直到型（UNTIL）語句編寫程序。

 

 

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