Question

利用函數(shù)的單調(diào)性定義證明函f(x)=

x

x-1

，x∈[2，4]是單調(diào)遞減函數(shù)，并求函數(shù)的值域．

Answer 1

分析：根據(jù)單調(diào)性的定義可知在[2，4]上任x₁，x₂．x₁＜x₂，然后利用作差法比較f（x₁）與f（x₂）的大小，從而可證得單調(diào)性，從而可求出函數(shù)的值域．

解答：證明：在[2，4]上任x₁，x₂．x₁＜x₂，f（x₁）=

x1

x1-1

，f（x₂）=

x2

x2-1

∴f(x1)-f(x2)=

x1

x1-1

-

x2

x2-1

=

x2-x1

(x1-1)(x2-1)

∵2≤x₁＜x₂≤4，∴x₂-x₁＞0，x₁-1＞0，x₂-1＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），∴f（x）是在[2，4]上的減函數(shù)
當(dāng)x=2時函數(shù)取最大值2，當(dāng)x=4時函數(shù)取最小值

4

3

 因此，函數(shù)的值域[

4

3

，2]．

點評：本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，以及利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)值域，屬于基礎(chǔ)題．