Question

（2011•江蘇二模）在三角形ABC中，過中線AD中點(diǎn)E任作一直線分別交邊AB，AC與M、N兩點(diǎn)，設(shè)

AM

=x

AB

，

AN

=y

AC

，(xy≠0)則4x+y的最小值是

9

4

．

Answer 1

分析：用

AB

  ， 

AC

 表示出

EM

 和

EN

，由于

EM

、

EN

共線，可得 

EM

= λ

EN

，且λ＜0，解出 x=

1-λ

4

，
y=

λ-1

4λ

，使用基本不等式求出 4x+y 的最小值．

解答：解：由題意可得

AM

=

AE

+ 

EM

=

AD

2

+

EM

=

AB + AC

4

+

EM

=x

AB

，∴

EM

=（x-

1

4

 ）

AB

-

AC

4

．
同理可得 

EN

=（y-

1

4

）

AC

-

AB

4

．    由于

EM

、

EN

共線，∴

EM

= λ

EN

，且λ＜0．
∴（x-

1

4

 ）

AB

-

AC

4

=λ[（y-

1

4

）

AC

-

AB

4

]，∴x-

1

4

=λ（-

1

4

），且-

1

4

=λ（y-

1

4

），
故 x=

1-λ

4

，y=

λ-1

4λ

，
∴4x+y=1-λ+

λ-1

4λ

=

5

4

+（-λ）+

1

-4λ

≥

5

4

+2

1 4

=

9

4

，當(dāng)且僅當(dāng) λ=-

1

2

時(shí)，等號(hào)成立，
故答案為：

9

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量基本定理，基本不等式的應(yīng)用，解出x=

1-λ

4

，y=

λ-1

4λ

，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．