Question

請分別用復(fù)合函數(shù)方法、換元法，證明函數(shù)y=

x

1-x

+2在區(qū)間（-∞，0）上為增函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：法一：復(fù)合函數(shù)法：根據(jù)函數(shù)y=

x

1-x

+2=1-

1

x-1

，通過考查y=

1

x-1

、y=-

1

x-1

的單調(diào)性，得出結(jié)論．
法二：換元法，令t=x-1，可得t∈（-∞，-1），y=1-

1

t

，根據(jù)y=1-

1

t

在（-∞，-1）上是增函數(shù)，得出結(jié)論．

解答： 解：法一：復(fù)合函數(shù)法：函數(shù)y=

x

1-x

+2=

x-1+1

1-x

+2=-1-

1

x-1

+2=1-

1

x-1

，
在區(qū)間（-∞，0）上，∵y=

1

x-1

 是減函數(shù)，y=-

1

x-1

是增函數(shù)，∴y=1-

1

x-1

是增函數(shù)，
故函數(shù)y=

x

1-x

+2在區(qū)間（-∞，0）上為增函數(shù)．
法二：換元法，令t=x-1，∵x∈（-∞，0），∴t∈（-∞，-1），y=1-

1

t

．
由于y=1-

1

t

在（-∞，-1）上是增函數(shù)，∴函數(shù)y=

x

1-x

+2在區(qū)間（-∞，0）上為增函數(shù)．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，屬于基礎(chǔ)題．