Question

已知函數(shù)f(x)=

lnx

x-1+a

（a為常數(shù)）在x=1處的切線的斜率為1．
（Ⅰ）求實數(shù)a的值，并求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，
（Ⅱ）若不等式f（x）≥k在區(qū)間[

1

e

，e2]上恒成立，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)f(x)=

lnx

x-1+a

（a為常數(shù)）在x=1處的切線的斜率為1，可得f′（1）=

a

a2

=1，即可求實數(shù)a的值，利用導(dǎo)數(shù)的正負可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，
（Ⅱ）確定由（Ⅰ）知，f（x）在[

1

e

，e]上單調(diào)增，在[e，e²]上單調(diào)減，可得f（x）在區(qū)間[

1

e

，e2]上的最小值為f(

1

e

)=-e，根據(jù)不等式f（x）≥k在區(qū)間[

1

e

，e2]上恒成立，即可求實數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵f(x)=

lnx

x-1+a

，
∴f′(x)=

(x-1+a)• 1 x -lnx

(x-1+a)2

，
∵函數(shù)f(x)=

lnx

x-1+a

（a為常數(shù)）在x=1處的切線的斜率為1，
∴f′（1）=

a

a2

=1，
∴a=1，
∴f（x）=

lnx

x

，定義域為（0，+∞），
由f′（x）=

1-lnx

x2

＞0，可得0＜x＜e；
由f′（x）=

1-lnx

x2

＜0，可得x＞e，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，e），單調(diào)減區(qū)間為（e，+∞）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在[

1

e

，e]上單調(diào)增，在[e，e²]上單調(diào)減，
∴f（x）在區(qū)間[

1

e

，e2]上的最小值為f(

1

e

)或f（e²），
∵f(

1

e

)=-e或f（e²）=

2

e2

，
∴f(

1

e

)＜f（e²），
∴f（x）在區(qū)間[

1

e

，e2]上的最小值為f(

1

e

)=-e
若不等式f（x）≥k在區(qū)間[

1

e

，e2]上恒成立，則k≤-e．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的最值，考查函數(shù)的單調(diào)性，正確求導(dǎo)數(shù)是關(guān)鍵．