已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn,且a1=2,3Sn=5an-an-1+3Sn-1(n≥2,n∈N*).
(Ⅰ)求數(shù)列{an} 的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)bn=(2n-1)an,求數(shù)列{bn} 的前n項(xiàng)和為Tn;
(Ⅲ)若cn=tn[lg(2t)n+lgan+2](t>0),且數(shù)列{cn} 是單調(diào)遞增數(shù)列,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
分析:(1)由3Sn=5an-an-1+3Sn-1,得到3an=5an-an-1,進(jìn)而得到
an
an-1
=
1
2
,再由a1=2,能求出數(shù)列{an} 的通項(xiàng)公式.
(2)由(1)知:bn=(2n-1)•22-n,故Tn=1×2+3×20+5×2-1+…+(2n-1)•22-n,利用錯(cuò)位相減法能夠求出Tn
(3)由cn=n•tn•lgt,cn<cn+1,知n•tn•lgt<(n+1)•tn+1•lgt,再進(jìn)行分類討論,能夠求出實(shí)數(shù)t的取值范圍.
解答:解:(1)∵3Sn=5an-an-1+3Sn-1
∴3an=5an-an-1,
an
an-1
=
1
2
,
∵a1=2,∴an=2•(
1
2
)
n-1
=22-n

(2)∵an=22-n,bn=(2n-1)an,
bn=(2n-1)•22-n,
∵數(shù)列{bn} 的前n項(xiàng)和為Tn
Tn=1×2+3×20+5×2-1+…+(2n-1)•22-n,
同乘公比得
1
2
T
n
=1×20+3×2-1+5×2-2
+…+(2n-1)•21-n
1
2
T
n
=1×2+2×20+2×2-1
+2×2-2+…+2×22-n-(2n-1)•21-n
=2+4[1-(
1
2
)
n-1
]-(2n-1)•21-n
Tn=12-(2n+3)•22-n
(3)∵cn=tn[lg(2t)n+lgan+2](t>0),∴cn=n•tn•lgt,
∵cn<cn+1,∴n•tn•lgt<(n+1)•tn+1•lgt,
①當(dāng)0<t<1時(shí),則t<
n
n+1
對任意正整數(shù)恒成立,0<t<
1
2

②當(dāng)t>1時(shí),t>
n
n+1
對任意正整數(shù)恒成立,∴t>1.
綜上可知,實(shí)數(shù)t的取值范圍是(0,
1
2
)∪(1,+∞).
點(diǎn)評:本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求法,考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意錯(cuò)位相減法、分類討論思想的靈活運(yùn)用.
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已知數(shù)列{an}前 n項(xiàng)和為Sn,且Sn=n2,
(1)求{an}的通項(xiàng)公式    
(2)設(shè) bn=
1anan+1
,求數(shù)列{bn}的前 n項(xiàng) 和Tn

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已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn和通項(xiàng)an滿足Sn=-
1
2
(an-1)

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; 
(2)試證明Sn
1
2
;
(3)設(shè)函數(shù)f(x)=log
1
3
x
,bn=f(a1)+f(a2)+…+f(an),求
1
b1
+
1
b2
+…+
1
b99
的值.

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已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn=2n-1,則數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)的前n項(xiàng)的和是
4n-1
3
4n-1
3

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已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn=2an+2n,
(Ⅰ)證明數(shù)列{
an
2n-1
}
是等差數(shù)列,并求{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若bn=
(n-2011)an
n+1
,求數(shù)列{bn}是否存在最大值項(xiàng),若存在,說明是第幾項(xiàng),若不存在,請說明理由;
(Ⅲ)設(shè)Tn=|S1|+|S2|+|S3|+…+|Sn|,試比較
Tn+Sn
2
2-n
1+n
an
的大小.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn=n2+2n,設(shè)bn=
1anan+1

(1)試求an;
(2)求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn

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