Question

給出定義：若m-

1

2

＜x≤m+

1

2

（其中m為整數(shù)），則m叫做離實(shí)數(shù)x最近的整數(shù)，記作{x}，即 {x}=m．在此基礎(chǔ)上有函數(shù)f(x)=|x-{x}

.

_   (x∈

．
（1）求f(4)，f(-

1

2

)，f(-8.3)的值；
（2）對于函數(shù)f（x），現(xiàn)給出如下一些判斷：
①函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)；
②函數(shù)y=f（x）是周期函數(shù)；
③函數(shù)y=f（x）在區(qū)間(-

1

2

，

1

2

]上單調(diào)遞增；
④函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=k+

1

2

&(k∈Z)

對稱；
請你將以上四個(gè)判斷中正確的結(jié)論全部選擇出來，并選擇其中一個(gè)加以證明；
（3）若-206＜x≤207，試求方程f(x)=

9

23

的所有解的和．

Answer 1

分析：（1）把x=4，x=-

1

2

，x=-8.3分別代入f（x）=|x-{x}|可求
（2）正確結(jié)論有：①②④
①：當(dāng)x∈（m-

1

2

，m+

1

2

），m∈Z 時(shí)，-x∈（-m-

1

2

，-m+

1

2

），可得{x}=m，{-x}=-m，，從而f（-x）=|-x-{-x}|=|-x+m|=|x-m|=|x-{x}|=f（x）；當(dāng)x=m+

1

2

，m∈Z 時(shí)，f（x）=f（-x）=

1

2

②：對任意x∈（m-

1

2

，m+

1

2

]，x+1∈（m+1-

1

2

，m+1+

1

2

]，可得{x+1}=m+1，從而f（x+1）=|x+1-{x+1}|=|x+1-m-1|=|x-m|=|x-{x}|=f（x），
④：函數(shù)y=f（x） 是偶函數(shù)，即f（-x）=f（x），又函數(shù)y=f（x） 是以1為周期的周期函數(shù)可得f（x+1）=f（x），則f（x+1）=f（-x）可得f（

1

2

+x）=f（

1

2

-x）?f（k+

1

2

+x）=f（k+

1

2

-x）
（3）由函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，當(dāng)206≤x≤207時(shí)，由判斷④知當(dāng)x∈[206，207]時(shí)有兩解，且關(guān)于x=206+

1

2

對稱，可求和

解答：解：（1）f（4）=0，f（-

1

2

）=

1

2

，f（-8.3）=0.3．…6分
（2）正確結(jié)論有：①②④．…9分證
①：當(dāng)x∈（m-

1

2

，m+

1

2

），m∈Z 時(shí)，-x∈（-m-

1

2

，-m+

1

2

），∴{x}=m，{-x}=-m，
∴f（-x）=|-x-{-x}|=|-x+m|=|x-m|=|x-{x}|=f（x）；當(dāng)x=m+

1

2

，m∈Z 時(shí)，f（x）=f（-x）=

1

2

，
故函數(shù)y=f（x） 是偶函數(shù)．…14分證
②：對任意x∈（m-

1

2

，m+

1

2

]，x+1∈（m+1-

1

2

，m+1+

1

2

]，∴{x+1}=m+1，
∴f（x+1）=|x+1-{x+1}|=|x+1-m-1|=|x-m|=|x-{x}|=f（x），
故函數(shù)y=f（x） 是以1為周期的周期函數(shù)．…14分證④：∵函數(shù)y=f（x） 是偶函數(shù)，即f（-x）=f（x），又函數(shù)y=f（x） 是以1為周期的周期函數(shù)，即f（x+1）=f（x），
∴f（x+1）=f（-x）?f（

1

2

+x）=f（

1

2

-x）?f（k+

1

2

+x）=f（k+

1

2

-x），故函數(shù)y=f（x） 的圖象關(guān)于直線x=k+

1

2

&(k∈Z)

對稱．…14分
（3）∵函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，即求當(dāng)206≤x≤207時(shí)，由判斷④知當(dāng)x∈[206，207]時(shí)有兩解，且關(guān)于x=206+

1

2

對稱，故其和為413．…20分

點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)的性質(zhì)：函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的對稱性、函數(shù)的周期性的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)的性質(zhì)并能靈活應(yīng)用．