Question

若函數(shù)f（x）和g（x）都為奇函數(shù)，函數(shù)F（x）=af（x）+bg（x）+3在（0，+∞）上有最大值10，則F（x）在（-∞，0）上有（　�。�

A．最小值-10

B．最小值-7

C．最小值-4

D．最大值-10

Answer 1

分析：首先根據(jù)f（x）和g（x）都是奇函數(shù)，得對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f（-x）=-f（x）且g（-x）=-g（x）．由函數(shù)F（x）在（0，+∞）上有最大值10，可以證得：當(dāng)x＜0時(shí)，F(xiàn)（-x）≤10，再結(jié)合f（x）和g（x）為奇函數(shù)，整理得af（x）+bg（x）≥-7，可得當(dāng)x＜0時(shí)，F(xiàn)（x）=af（x）+bg（x）+3≥-4．設(shè)F（x）=af（x）+bg（x）+3在（0，+∞）上取最大值時(shí)的x=x₀，結(jié)合結(jié)合f（x）和g（x）為奇函數(shù)，可以證出當(dāng)x＜0時(shí)，F(xiàn)（x）的最小值為F（-x₀）=-4．從而得出正確答案．

解答：解：∵函數(shù)f（x）和g（x）都為奇函數(shù)，
∴對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f（-x）=-f（x）且g（-x）=-g（x）．
當(dāng)x＞0時(shí)，F(xiàn)（x）=af（x）+bg（x）+3的最大值為10，
設(shè)F（x）=af（x）+bg（x）+3取最大值時(shí)的x=x₀，（x₀是正數(shù)）
即對(duì)任意的x＞0，均有F（x）≤F（x₀）=10，
∴當(dāng)x＜0時(shí)，F(xiàn)（-x）≤10，即af（-x）+bg（-x）+3≤10
∴af（-x）+bg（-x）≤7，即-af（x）-bg（x）≤7
∴af（x）+bg（x）≥-7，可得F（x）=af（x）+bg（x）+3≥-4
∵F（-x₀）=af（-x₀）+bg（-x₀）+3=-[af（x₀）+bg（x₀）+3]+6，
∴F（-x₀）=-F（x₀）+6=-10+6=-4，
∴F（x）在（-∞，0）上當(dāng)x=-x₀時(shí)，F(xiàn)（x）有最小值為-4．
故選C

點(diǎn)評(píng)：本題從一個(gè)由兩個(gè)奇函數(shù)組合而成的函數(shù)出發(fā)，研究了它的最值問題，著重考查了函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的綜合和抽象函數(shù)處理等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．