已知函數(shù)f(x)=log3,是否存在實數(shù)a、b、c,使f(x)同時滿足下列三個條件:(1)定義域為R的奇函數(shù);(2)在[1,+∞)上是增函數(shù);(3)最大值是1.若存在,求出a、b、c;若不存在,說明理由.

分析:本題是存在性的問題.解決的辦法是:首先假設(shè)三個參數(shù)a、b、c存在,然后用三個已知條件逐一確定a、b、c的值.

解: f(x)是奇函數(shù)f(0)=0log3b=0,

∴b=1.

又∵f(-x)=-f(x),

即log3=-log3,

=(x2+1)2-a2x2=(x2+1)2-c2x2.

∴a2=c2a=c或a=-c,但a=c不合題意,故a=-c.這時f(x)=log3在[1,+∞)上是增函數(shù),且最大值是1.

設(shè)u(x)=在[1,+∞]上是增函數(shù),且最大值是3.

∵u′(x)=

==,

當x>1時x2-1>0u′(x)>0,

故c>0;又當x<-1時,u′(x)>0;

當x∈(-1,1)時,u′(x)<0.

所以u(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上是增函數(shù),在(-1,1)上是減函數(shù).

∵x>1,x2-cx+1<x2+cx+1,u(x)<1,

∴x=-1時u(x)最大值為3.

=3,c=1,a=-1.

經(jīng)驗證:a=-1,b=1,c=1時,f(x)符合題設(shè)條件,所以存在滿足條件的a、b、c,

即a=-1,b=1,c=1.

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已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b

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f′(x)
x
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已知函數(shù)f(x)=
1
2
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1
e
,e]
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12
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13
x3+x2+ax

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x3-
32
ax2+b
,a,b為實數(shù),x∈R,a∈R.
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