設(shè)f(x)=logag(x)(a＞0且a≠1)。
(1)若f(x)在定義域D內(nèi)是奇函數(shù)，求證：g(x)·g(-x)=1；
(2)若g(x)=ax且在[1，3]上，f(x)的最大值是，求實(shí)數(shù)a的值；
(3)若g(x)=ax2-x，是否存在實(shí)數(shù)a，使得f(x)在區(qū)間I=[2，4]上是減函數(shù)？且對(duì)任意的x1，x2∈I都有f(x1)＞ax2-2，如果存在，說(shuō)明a可以取哪些值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。
解：（1）∵在定義域D內(nèi)是奇函數(shù)，
∴f(x)+f(-x)=0，，即，
∴。
（2）①若a＞1，則在[1，3]上是增函數(shù)，則有f(3)=，
∴，
∴a=9；
②若0＜a＜1，則在[1，3]上是減函數(shù)，則有f(1)= ，
∴=，解得：a不存在；
綜上所述：a=9。
（3）①若a＞1時(shí)，要滿(mǎn)足題設(shè)，則有在[2，4]上是減函數(shù)，
∴而函數(shù)＞0僅在上是減函數(shù)，故a＞1不符合題意；
 ②若0＜a＜1時(shí)，要滿(mǎn)足題設(shè)，則有在[2，4]上是增函數(shù)，并且在[2，4]上成立，∴，∴a＞，
要對(duì)任意的x1，x2∈I都有，只要求f(x)的最小值大于的最大值即可。
∵f(x)在區(qū)間I=[2，4]上是減函數(shù)，
∴==，的最大值為=1，
∴＞1，∴a＜，這與a＞矛盾，舍去；
綜上所述：滿(mǎn)足題設(shè)的實(shí)數(shù)a不存在。
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)f(x)=loga
1-mx
x-1
為奇函數(shù)，g(x)=f(x)+loga
(x-1)(ax+1)
（a＞1且m≠1）
（1）求m的值及g（x）的定義域；
（2）若g（x）在(-
5
2
，-
3
2
)上恒為正，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•閘北區(qū)二模）設(shè)
OA
=(x，a-x)，
OB
=(x，2)，x∈[1，2），且
OA
⊥
OB
，則函數(shù)f(x)=loga|
1
a
x-1|的最大值為
0
0
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2007•溫州一模）設(shè)a＞0且a≠1，若函數(shù)f(x)=
loga(x+a)
，
 
 
-a＜x＜0
4-x2
2(a-x)
，
 
 
0≤x＜a
在x=0處連續(xù)，則
lim
x→a-
f(x)=
2
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

對(duì)于定義域?yàn)镮的函數(shù)y=f（x），如果存在區(qū)間[m，n]⊆I，同時(shí)滿(mǎn)足：①f（x）在[m，n]內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②當(dāng)定義域是[m，n]，f（x）值域也是[m，n]，則稱(chēng)[m，n]是函數(shù)y=f（x）的“好區(qū)間”．
（1）設(shè)g(x)=loga(ax-2a)+loga(ax-3a)（其中a＞0且a≠1），判斷g（x）是否存在“好區(qū)間”，并說(shuō)明理由；
（2）已知函數(shù)P(x)=
(t2+t)x-1t2x
(t∈R，t≠0)有“好區(qū)間”[m，n]，當(dāng)t變化時(shí)，求n-m的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，若存在閉區(qū)間[a，b]?D，使得函數(shù)f（x）滿(mǎn)足：①f（x）在[a，b]上是單調(diào)函數(shù)；②f（x）在[a，b]上的值域是[2a，2b]，則稱(chēng)區(qū)間[a，b]是函數(shù)f（x）的“和諧區(qū)間”．下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　�。�
A、函數(shù)f（x）=x2（x≥0）存在“和諧區(qū)間”
B、函數(shù)f（x）=ex（x∈R）不存在“和諧區(qū)間”
C、函數(shù)f(x)=
4x
x2+1
（x≥0）存在“和諧區(qū)間”
D、函數(shù)f(x)=loga(ax-
1
8
)（a＞0，a≠1）不存在“和諧區(qū)間”

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