Question

已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a_n=n?kⁿ（n∈N^*，0＜k＜1）下面說(shuō)法正確的是（　�。�
①當(dāng)k=

1

2

時(shí)，數(shù)列{a_n}為遞減數(shù)列；
②當(dāng)

1

2

＜k＜1時(shí)，數(shù)列{a_n}不一定有最大項(xiàng)；
③當(dāng)0＜k＜

1

2

時(shí)，數(shù)列{a_n}為遞減數(shù)列；
④當(dāng)

k

1-k

為正整數(shù)時(shí)，數(shù)列{a_n}必有兩項(xiàng)相等的最大項(xiàng)．

• A、①②
• B、②④
• C、③④
• D、②③

Answer 1

分析：分別根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行判斷即可．

解答：解：①當(dāng)k=

1

2

時(shí)，an=n?(

1

2

)n，
∵a1=

1

2

，a2=2×

1

4

=

1

2

，∴a₁=a₂，即數(shù)列{a_n}不是遞減數(shù)列，∴①錯(cuò)誤．
②當(dāng)

1

2

＜k＜1時(shí)，

an+1

an

=

(n+1)•kn+1

n•kn

=

k(n+1)

n

，
∴k＜

k(n+1)

n

＜2k，
因此數(shù)列{a_n}數(shù)列{a_n}可有最大項(xiàng)，因此錯(cuò)誤；
③當(dāng)0＜k＜

1

2

時(shí)，

an+1

an

=

(n+1)•kn+1

n•kn

=

k(n+1)

n

＜

n+1

2n

≤1，∴a_n+1＜a_n，故數(shù)列{a_n}為遞減數(shù)列；
④

an+1

an

=

(n+1)•kn+1

n•kn

=

k(n+1)

n

，
當(dāng)

k

1-k

為正整數(shù)時(shí)，1＞k≥

1

2

．
當(dāng)k=

1

2

時(shí)，a₁=a₂＞a₃＞a₄＞…．
當(dāng)1＞k＞

1

2

時(shí)，令

k

1-k

=m∈N*，解得k=

m

1+m

，則

an+1

an

=

m(n+1)

n(1+m)

，數(shù)列{a_n}必有兩項(xiàng)相等的最大項(xiàng)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列的單調(diào)性和分類(lèi)討論的思想方法，屬于難題．