Question

已知函數(shù)f（x）=（x+2a）|x-a|+x，a∈R．
（1）當(dāng)a=0時，判斷函數(shù)y=f（x）的奇偶性，并加以證明；
（2）若對任意的x∈[-2，2]，函數(shù)f（x）圖象恒在函數(shù)g（x）=（2a+1）x+4a²的圖象的下方，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷；
（2）問題實際上是一個不等式恒成立問題，然后將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解．

解答： 解：（1）當(dāng)a=0時，y=f（x）是奇函數(shù)．
顯然函數(shù)的定義域為R，此時f（x）=x|x|+x，
所以f（-x）=-x|-x|-x=-x|x|-x=-f（x）．
故函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
（2）由題意知（x+2a）|x-a|+x＜（2a+1）x+4a²．
整理得（x+2a）[|x-a|-2a]＜0．
①當(dāng)a＜0時，|x-a|-2a＞0，則x+2a＜0，
即a＜-

x

2

對任意的x∈[-2，2]恒成立，
則只需a＜(-

x

2

)min=-1，
所以此時a＜-1；
②當(dāng)a=0時，原式化為x|x|＜0對任意的x∈[-2，2]恒成立，顯然不成立．
③當(dāng)a＞0時，原式化為

x+2a＞0 |x-a|＜2a

或

x+2a＜0 |x-a|＞2a

，
即

x＞-2a -2a＜x-a＜2a

或

x＜-2a x-a＜-2a或x-a＞2a

對任意的x∈[-2，2]恒成立．
所以a＞2或a＜-2（舍）或a＜-1（舍），
綜上可得a＜-1或a＞2即為所求．

點評：本題綜合考查了不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題來解的基本思路，同時考查了二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)．