Question

(本題滿分16分)(Ⅰ)試比較的大小；
(Ⅱ)試比較nⁿ⁺¹與(n+1)ⁿ(n∈N₊)的大小，根據(jù)(Ⅰ)的結(jié)果猜測(cè)一個(gè)一般性結(jié)論，并加以證明.

Answer 1

解：(Ⅰ)由于，，則；
又，，則；
所以. …………………………………………6分
(Ⅱ)當(dāng)n=1,2時(shí)，有nⁿ⁺¹<(n+1)ⁿ.………………………………………8分
當(dāng)n≥3時(shí)，有n^n+!>(n+1)ⁿ. 證明如下：
令，.
又.
∴a_n+1>a_n即數(shù)列{a_n}是一個(gè)單調(diào)遞增數(shù)列.
則a_n>a_n-1>…>a₃>1
∴即nⁿ⁺¹>(n+1)ⁿ. ……………………………………16分
另證：構(gòu)造函數(shù)f(x)=(x≥3)，f(x)==，
∴f(x)=在[3,+∞為遞減函數(shù)，則f(n)>f(n+1)，
即，，∴，
即nⁿ⁺¹>(n+1)ⁿ(n≥3時(shí)結(jié)論成立).

略