Question

已知函數(shù)，f（X）=log₂x的反函數(shù)為f^-1（x），等比數(shù)列{a_n}的公比為2，若f^-1（a₂）•f^-1（a₄）=2¹⁰，則2^{f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₀₀₉）}=（　　）

• A、2^1004×2008
• B、2^1005×2009
• C、2^1005×2008
• D、2^1004×2009

Answer 1

分析：本題由函數(shù)f（X）=log₂x可確定反函數(shù)f^-1（x），從而利用f^-1（a₂）•f^-1（a₄）=2¹⁰得到等比數(shù)列第二項與第四項的等式關系，并結合公比為2求出通項a_n=2^n-1，由此求出^{f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₀₀₉）}的值，進而可得答案．

解答：解：由f（X）=log₂x得f^-1（x）=2^x，所以f^-1（a₂）•f^-1（a₄）=2a22a4=2a2+a4=2¹⁰，所以a₂+a₄=10，
又公比q=2，所以a₁=1，
故a_n=2^n-1，
所以^{f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₀₀₉）}=log₂1+log₂2¹+log₂2²+log₂2³+^…+log₂2²⁰⁰⁸=1+2+3+^…+2008=

(1+2008)×2008

2

=1004×2009；
所以2^{f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₀₀₉）=21004×2009}
故選D．

點評：本題主要結合反函數(shù)知識考查了對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)，并兼顧了對等比數(shù)列知識的考查，綜合性較強，有一定難度，易在計算中出現(xiàn)失誤．