Question

已知線段CD=2

3

，CD的中點(diǎn)為O，動(dòng)點(diǎn)A滿足AC+AD=2a（a為正常數(shù)）．
（1）求動(dòng)點(diǎn)A所在的曲線方程；
（2）若存在點(diǎn)A，使AC⊥AD，試求a的取值范圍；
（3）若a=2，動(dòng)點(diǎn)B滿足BC+BD=4，且AO⊥OB，試求△AOB面積的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）以O(shè)為圓心，CD所在直線為x 軸建立平面直角坐標(biāo)系，利用橢圓的定義判斷曲線類型，并求得曲線方程．
（2）由（Ⅰ）知a＞

3

，以O(shè)為圓心，OC=

3

為半徑的圓與橢圓有公共點(diǎn)，故

3

≥

a2-3

，解出a的取值范圍．
（3）當(dāng)a=2時(shí)，求出OA和OB的長(zhǎng)度，代入∴△AOB面積S=

1

2

1+k2

|x1|

1+ 1 k2

|x2|=2

(1+k2)2 (1+4k2)(k2+4)

，令1+k²=t（t＞1），S=2

t2 4t2+9t-9

=2

1 - 9 t2 + 9 t +4

，令g(t)=-

9

t2

+

9

t

+4，求得g（t）的范圍，即得S的最值．

解答：解：（1）以O(shè)為圓心，CD所在直線為x 軸建立平面直角坐標(biāo)系，
若AC+AD=2a＜2

3

，即0＜a＜

3

，動(dòng)點(diǎn)A所在的曲線不存在；
若AC+AD=2a=2

3

，即a=

3

，動(dòng)點(diǎn)A所在的曲線方程為y=0(-

3

≤x≤

3

)；
若AC+AD=2a＞2

3

，即a＞

3

，動(dòng)點(diǎn)A所在的曲線方程為

x2

a2

+

y2

a2-3

=1．
（2）由（Ⅰ）知a＞

3

，要存在點(diǎn)A，使AC⊥AD，則以O(shè)為圓心，OC=

3

為半徑的圓與橢圓有公共點(diǎn)，
故

3

≥

a2-3

，所以，a的取值范圍是

3

＜a≤

6

．
（3）當(dāng)a=2時(shí)，其曲線方程為橢圓

x2

4

+y2=1，由條件知A，B兩點(diǎn)均在橢圓

x2

4

+y2=1上，且AO⊥OB．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），OA的斜率為k（k≠0），則OA的方程為y=kx，OB的方程為y=-

1

k

x，
解方程組

y=kx x2 4 +y2=1

，得

x

2 1

=

4

1+4k2

，

y

2 1

=

4k

1+4k2

，同理可求得

x

2 2

=

4k2

k2+4

，

y

2 2

=

4

k2+4

，
∴△AOB面積S=

1

2

1+k2

|x1|

1+ 1 k2

|x2|=2

(1+k2)2 (1+4k2)(k2+4)

，
令1+k²=t（t＞1），則 S=2

t2 4t2+9t-9

=2

1 - 9 t2 + 9 t +4

，
令g(t)=-

9

t2

+

9

t

+4=-9(

1

t

-

1

2

)2+

25

4

(t＞1)，所以，4＜g(t)≤

25

4

，即

4

5

≤S＜1，
當(dāng)OA與坐標(biāo)軸重合時(shí)S=1，于是

4

5

≤S≤1，△AOB面積的最大值和最小值分別為1與

4

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的定義，直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，求出△AOB的面積 是解題的難點(diǎn)．