Question

已知函數(shù)
（1）f（x）為定義域上的單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）當m=﹣1時，求函數(shù)f（x）的最大值；
（3）當m=1時，且1≧a＞b≧0，證明：．

Answer 1

解：（1）函數(shù)的定義域為（﹣，+∞）
求導函數(shù)可得f^′（x）=+m．
∵x＞﹣，
∴＞0，
∴不存在實數(shù)m，使f^′（x）=+m＜0對x＞﹣恒成立，
由f^′（x）=+m≧0對x＞﹣恒成立得，m≧
對x＞﹣恒成立
而＜0，故m≧0
經(jīng)檢驗，當m≧0時，對x＞﹣恒成立
∴當m≧0時，f（x）為定義域上的單調(diào)遞增函數(shù)。
（2）當m=-1時，由f^′（x）=﹣1=0，可得x=0
當x∈時，f^′（x）＞0；
當x∈（0，+∞）時，f^′（x）＜0
∴函數(shù)f（x）在x=0時取得最大值，最大值為f（0）=0
（3）證明：當m=1時，令
∴在[0，1]上總有g(shù)′（x）≧0，
即g（x）在[0，1]上遞增
∴當1≧a＞b≧0時，g（a）＞g（b），
即．
令，
由（2）知它在[0，1]上遞減，
∴h（a）＜h（b）
即，
綜上所述，當m=1，且1≧a＞b≧0時，。