Question

如圖，直三棱柱ABB₁-DCC₁中，∠ABB₁=90°，AB=4，BC=2，CC₁=1，DC上有一動(dòng)點(diǎn)P，則△APC₁周長(zhǎng)的最小值為（ ）

A．5+
B．5-
C．4+
D．4-

Answer 1

【答案】分析：不妨令CP=a，則DP=4-a，分別在直角三角形ADC中求AP，在直角三角形C₁PC求出C₁P，在直角三角形C₁CA求出C₁A，然后相交求周長(zhǎng)．將周長(zhǎng)表示為參數(shù)a的函數(shù)，由于a∈[0，4]，在這個(gè)區(qū)間上求出周長(zhǎng)的最小值即可．
解答：解：DC上有一動(dòng)點(diǎn)P，令CP=a，則DP=4-a，
由于直三棱柱ABB₁-DCC₁中，∠ABB₁=90°，AB=4，BC=2，CC₁=1，
∴周長(zhǎng)S=AP+C₁P+C₁A=+=+
其中是可以看作平面直角坐標(biāo)系中（a，0）與兩點(diǎn)（4，-2）以及（0，1）兩點(diǎn)距離和的最小值，由圖形中點(diǎn)（a，0）恰好是過兩點(diǎn)（4，-2）與（0，1）的直線與x軸的交點(diǎn)時(shí)，上式的值最小．
由兩點(diǎn)式知過兩點(diǎn)（4，-2）與（0，1）的直線的方程是3x+4y-4=0，其與x軸的交點(diǎn)是（，0），
即當(dāng)a=時(shí)，的最小值為兩點(diǎn)（4，-2）與（0，1）的距離，其值為5，故周長(zhǎng)為5+
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查用勾股定理在直角三角形中求兩點(diǎn)間的距離，解答本題的關(guān)鍵是找到所求線段存在的直角三角形，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．