Question

已知兩定點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），滿足||+||=4的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是曲線C．
（Ⅰ） 求曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）直線l：y=-x+b與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意知，曲線C是以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的橢圓．故a=2，c=1，由此能求出曲線C的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l與橢圓，交點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立方程，得7x²-8bx+4b²-12=0，因?yàn)椤?48（7-b²）＞0，所以b²＜7，再由韋達(dá)定理和點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合題設(shè)條件能夠求出△AOB面積的最大值．
解答：解：（Ⅰ）由題意知，曲線C是以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的橢圓．
∴a=2，c=1，∴b²=3，
故曲線C的方程為：．…（3分）
（Ⅱ）設(shè)直線l與橢圓，交點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立方程，
得7x²-8bx+4b²-12=0，…（4分）
因?yàn)椤?48（7-b²）＞0，
解得b²＜7，且，，（5分）
∵點(diǎn)O到直線l的距離d=，…（6分）
|AB|==，…（9分）
∴=．…（10分）
當(dāng)且僅當(dāng)b²=7-b²，即時(shí)，取到最大值．
∴△AOB面積的最大值為．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考是曲線方程的求法，考要三角形最大面積的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意點(diǎn)到直線距離公式、根的判別式、韋達(dá)定理的合理運(yùn)用．