Question

如圖所示，正方形ABCD與直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，AF∥DE，DE=DA=2AF．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求證：AC∥平面BEF．

Answer 1

（Ⅰ）證明：因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面ADEF，∠ADE=90°，
所以DE⊥平面ABCD，（1分）
所以DE⊥AC．
因?yàn)锳BCD是正方形，
所以AC⊥BD，（3分）
所以AC⊥平面BDE．（4分）
（Ⅱ）證明：設(shè)AC∩BD=O，取BE中點(diǎn)G，連結(jié)FG，OG，
所以，OG∥DE，DE=

1

2

DE．（5分）
因?yàn)锳F∥DE，DE=2AF，所以AF∥OG且AF=OG，
從而四邊形AFGO是平行四邊形，F(xiàn)G∥AO．（6分）
因?yàn)镕G?平面BEF，AO?平面BEF，（7分）
所以AO∥平面BEF，即AC∥平面BEF．（8分）