Question

如圖所示，AB是⊙O的直徑，弦BD、CA的延長線相交于點(diǎn)E，EF垂直BA并交BA的延長線于點(diǎn)F．
（Ⅰ）求證：∠EFD=∠DAE；
（Ⅱ）求證：AB²=BE•BD-AE•AC．

Answer 1

考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段

專題：直線與圓

分析：（Ⅰ）連結(jié)AD，得∠ADB=90°，從而∠ADE=90°，再由∠AFE=90°，得A、D、E、F四點(diǎn)共圓，從而能證明∠EFD=∠DAE．
（2）由A、D、E、F四點(diǎn)共圓，得BD•BE=BA•BF，再由△ABC～△AEF，得AB•AF=AE•AC，由此能證明AB²=BD•BE-AE•AC．

解答： 證明：（Ⅰ）連結(jié)AD，∵AB是圓的直徑，
∴∠ADB=90°，∴∠ADE=90°，
又∵∠AFE=90°，∴A、D、E、F四點(diǎn)共圓，
∴∠EFD=∠DAE．
（2）由A、D、E、F四點(diǎn)共圓，得BD•BE=BA•BF，
又∵△ABC～△AEF，∴

AB

AE

=

AC

AF

，
∴AB•AF=AE•AC，
∴BE•BD-AE•AC=BA•BF-AB•AF=AB•（BF-AF）=AB²，
∴AB²=BD•BE-AE•AC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角相等的證明，考查AB²=BE•BD-AE•AC的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意四點(diǎn)共圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用．