Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x2+(2a-1)x+a2lnx．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

（I）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=

1

2

x 2 +x+lnx，x∈（0，+∞），
所以f′（x）=x+1+

1

x

，因此，f′（1）=3，
即曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為3，
又f（1）=

3

2

，故y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y-

3

2

=3（x-1），
所以曲線，即3x-y-

3

2

=0；
（Ⅱ）因?yàn)?f /(x)=x+2a-1+

a 2

x

=

x 2+(2a-1)x+a 2

x

，x∈（0，+∞），
令g（x）=x²+（2a-1）x+a²，x∈（0，+∞），
（1）當(dāng)a≥

1

4

時(shí)，g（x）≥0在區(qū)間（0，+∞）恒成立，故當(dāng)a≥

1

4

時(shí)，f′（x）≥0在區(qū)間（0，+∞）恒成立，
所以，當(dāng)a≥

1

4

時(shí)，f（x）在定義域（0，+∞）上為增函數(shù)；
（2）當(dāng)0＜a＜

1

4

時(shí)，由g（x）=0，得x=

1-2a± 1-4a

2

，
故f（x）=0的兩個(gè)根為x 1=

1-2a- 1-4a

2

，x 2=

1-2a+ 1-4a

2

①由f′（x）＜0，得x₁＜x＜x₂，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（x₁，x₂）；
②由f′（x）＞0，得0＜x＜x₁，或x＞x₂，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，x₁）和（x₂，+∞）；
故當(dāng)0＜a＜

1

4

時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（0，

1-2a- 1-4a

2

）和（

1-2a+ 1-4a

2

，+∞）；函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

1-2a- 1-4a

2

，

1-2a+ 1-4a

2

）
綜上所述：
當(dāng)a≥

1

4

時(shí)，f（x）在定義域（0，+∞）上為增函數(shù)；
當(dāng)0＜a＜

1

4

時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（0，

1-2a- 1-4a

2

）和（

1-2a+ 1-4a

2

，+∞）；函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

1-2a- 1-4a

2

，

1-2a+ 1-4a

2

）