設(shè)函數(shù)f(x)=ax3-2bx2+cx+4d(a、b、c、dÎR)圖象關(guān)于原點對稱，且x=1時，f(x)取極小值-．

（1）求a、b、c、d的值；

（2）當xÎ[-1，1]時，圖象上是否存在兩點，使得過此兩點處的切線互相垂直?試證明你的結(jié)論；

（3）若x1，x2Î[-1，1]時，求證：．

 

答案：
解析：

（1）∵ 函數(shù)f(x)圖象關(guān)于原點對稱，∴ 對任意實數(shù)x有f(-x)=-f(x)，

∴ -ax3-2bx2-cx+4d=-ax3+2bx2-cx-4d，即bx2-2d=0恒成立

∴ b=0，d=0  ∴ f(x)=ax3+cx，f¢(x)=3ax3+c，

∵ x=11時，f(x)取極小值-，∴ 3a+c=0且a+c=-，解得a=，c=-1，

（2）當xÎ[-1，1]時，圖象上不存在這樣的兩點使結(jié)論成立．

假設(shè)圖象上存在兩點A(x1，y1)、B(x2，y2)，使得過此兩點處的切線互相垂直，

則由f¢(x)=x2-1，知兩點處的切線斜率分別為k1=-1，k2=-1，

且　　  (*)

∵ x1、x2Î[-1，1]，∴ -1£0，-1£0，∴ (-1)×(-1)³0

此與（*）相矛盾，故假設(shè)不成立．

（3）∵ f′(x)=x2-1，令f′(x)=0，得x=±1，∵ xÎ(-¥，-1)，

或xÎ(1，+¥)時，f′(x)>0；xÎ(-1，1)時，f′(x)<0，

∴ f(x)在[-1，1]上是減函數(shù)，且fmax(x)=f(-1)=，fmin(x)=f(1)=-

∴ 在[-1，1]上，，于是x1，x2Î[-1，1]時，

于是x1、x2Î[-1，1]時，．

 


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=ax+
a+1
x
 (a＞0)，g（x）=4-x，已知滿足f（x）=g（x）的x有且只有一個．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若f(x)+
m
x
＞1對一切x＞0恒成立，求m的取值范圍；
（Ⅲ）若函數(shù)h（x）=k-f（x）-g（x）（k∈R）在[m，n]上的值域為[m，n]（其中n＞m＞0），求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=ax-
bx
，曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為7x-4y-12=0，
（1）求y=f（x）的解析式，并求其單調(diào)區(qū)間；
（2）用陰影標出曲線y=f（x）與此切線以及x軸所圍成的圖形，并求此圖形的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=
ax-1x+1
；其中a∈R．
（Ⅰ）解不等式f（x）≤1；
（Ⅱ）求a的取值范圍，使f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=ax-
bx
，曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為7x-4y-12=0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=ax-
bx
，曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為7x-4y-12=0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

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