在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=  (n∈N*).

(Ⅰ)求a2,  a3,   a4;

(Ⅱ)猜想an，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；

(Ⅲ)若數(shù)列bn= ，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和sn。

 

【答案】

（Ⅰ）∴a2=  = ,a3 =  = ,a4 ==.(Ⅱ)略

（Ⅲ）sn=b1+b2+…+bn=2[(1-)+(-)+…+(-)]=2[1-]=

【解析】本試題主要是考查了運(yùn)用遞推關(guān)系求解數(shù)列的前幾項(xiàng)，然后根據(jù)前幾項(xiàng)的特點(diǎn)分析得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而利用數(shù)列的歸納猜想思想，和數(shù)學(xué)歸納法的得到證明，并對(duì)于新數(shù)列求解和的問(wèn)題。

（1）首先由a1=1,an+1=,，對(duì)n賦值依次得到第二項(xiàng)和第三項(xiàng)以及第四項(xiàng)。

（2）歸納猜想其通項(xiàng)公式，并運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法加以證明，

（3）由（Ⅱ）知：bn===2[-]，然后裂項(xiàng)求和得到結(jié)論。

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

6、在數(shù)列{an}中，a1=1，an=an-1+n，n≥2．為計(jì)算這個(gè)數(shù)列前10項(xiàng)的和，現(xiàn)給出該問(wèn)題算法的程序框圖（如圖所示），則圖中判斷框（1）處合適的語(yǔ)句是（　�。�

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在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=an+2n-1，則an的表達(dá)式為（　�。�

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在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=an+
1
n(n+1)
，n∈N*，則an=（　�。�

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在數(shù)列{an}中，已知a1=2，a2=7，an+2等于anan+1（n∈N*）的個(gè)位數(shù)，則a2013的值是（　�。�

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已知二次函數(shù)f（x）=x2-ax+a，（a≠0x∈R），有且僅有唯一的實(shí)數(shù)x滿足f（x）≤0．
（1）在數(shù)列{an}中，滿足Sn=f（n）-4，求{an}的通項(xiàng)；
（2）在數(shù)列{an}中依次取出第1項(xiàng)、第2項(xiàng)、第4項(xiàng)、…第2n-1項(xiàng)…組成新數(shù)列{bn}，求新數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn；
（3）設(shè)cn=
nanan+1
，求數(shù)列{cn}的最大和最小值．

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