已知f(x)=-
4+
1
x2
數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,點(diǎn)Pnan,-
1
an+1
)
在曲線y=f(x)上(n∈N*)且a1=1,an>0.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn且滿足
Tn+1
an2
=
Tn
an+12
+16a2-8n-3,設(shè)定b1的值使得數(shù){bn}是等差數(shù)列;(Ⅲ)求證:Sn
1
2
4n+1
-1,n∈N*
分析:(Ⅰ)由-
1
an+1
=f(an) =-
4+
1
an2
,且an>0,知
1
an+1
=
4+
1
an2
,由此知 an2=
1
4n-3
,從而得到數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)把(I)中求出的數(shù)列的通項(xiàng)公式代入
Tn+1
an2
=
Tn
an+12
+16n2-8n-3
中,化簡(jiǎn)后得到
Tn+1
4n+1
-
Tn
4n-3
=1
,設(shè)
Tn
4n-3
=cn
,則上式變?yōu)閏n+1-cn=1,得到{cn}是等差數(shù)列.求出{cn}的通項(xiàng)公式,
代入即可求得Tn的通項(xiàng)公式,然后利用bn=Tn-Tn-1即可得到數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.
(III)由 an=
1
4n-3
,知 an=
2
2
4n-3
2
4n-3
+
4n+1
=
4n+1
-
4n-3
2
,由此能夠證明Sn
1
2
4n+1
-1,n∈N*
解答:解:(Ⅰ)-
1
an+1
=f(an) =-
4+
1
an2
,且an>0,
1
an+1
=
4+
1
an2
,
1
an+12
-
1
an2
=4(n∈N+)
,
∴數(shù)列{
1
an2
}是等差數(shù)列,首項(xiàng)
1
a12
公差d=4
1
a12
=1+4(n-1)

an2=
1
4n-3

∵an>0
an=
1
4n-3
(n∈N+)
(4分)(6分)
(Ⅱ)由題設(shè)知(4n-3)Tn+1=(4n+1)Tn+(4n+1)(4n-3).
Tn+1
4n+1
-
Tn
4n-3
=1

設(shè)
Tn
4n-3
=cn
,則上式變?yōu)閏n+1-cn=1.
∴{cn}是等差數(shù)列.
∴cn=c1+n-1=
T1
1
+n-1=b1+n-1=n.
Tn
4n-3
=T 1+n -1
,若{bn}為等差數(shù)列,則T1=1,即b=1,
即Tn=n(4n-3)=4n2-3n.
∴當(dāng)n=1時(shí),bn=T1=1;
當(dāng)n≥2時(shí),bn=Tn-Tn-1=4n2-3n-4(n-1)2+3(n-1)=8n-7.
經(jīng)驗(yàn)證n=1時(shí)也適合上式.
∴bn=8n-7(n∈N*).
(III)證明:an=
1
4n-3

an=
2
2
4n-3
2
4n-3
+
4n+1
=
4n+1
-
4n-3
2
,
∴Sn=a1+a2+…+an
1
2
5
-1)+(
9
-
5
)+…+
1
2
4n+1
-
4n-3

=
1
2
4n+1
-1
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法和不等式的證明,考查學(xué)生靈活運(yùn)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式化簡(jiǎn)求值,會(huì)確定一個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列,是一道綜合題.解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意數(shù)列性質(zhì)的合理運(yùn)用.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)=-
4+
1
x2
數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,點(diǎn)Pn(an,-
1
an+1
)在曲線y=f(x)上(n∈N*)且a1=1,an>0.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)求證:Sn
1
2
4n+1
-1,n∈N*

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•丹東模擬)如圖,在豎直平面內(nèi)有一個(gè)“游戲滑道”,空白部分表示光滑滑道,黑色正方形表示障礙物,自上而下第一行有1個(gè)障礙物,第二行有2個(gè)障礙物,…,依此類推.一個(gè)半徑適當(dāng)?shù)墓饣鶆蛐∏驈娜肟贏投入滑道,小球?qū)⒆杂上侣,已知小球每次遇到正方形障礙物上頂點(diǎn)時(shí),向左、右兩邊下落的概率都是
1
2
.記小球遇到第n行第m個(gè)障礙物(從左至右)上頂點(diǎn)的概率為P(n,m).
(Ⅰ)求P(4,1),P(4,2)的值,并猜想P(n,m)的表達(dá)式(不必證明);
(Ⅱ)已知f(x)=
4-x,1≤x≤3
x-3,3<x≤6
,設(shè)小球遇到第6行第m個(gè)障礙物(從左至右)上頂點(diǎn)時(shí),得到的分?jǐn)?shù)為ξ=f(m),試求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)=-
4+
1
x2
,數(shù)列{an} 的前n項(xiàng)和為Sn,點(diǎn)Pn(an,-
1
an+1
)
在曲線y=f(x)上(n∈N*),且a1=1,an>0.
(1)求數(shù)列{an} 的通項(xiàng)公式;
(2)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,且滿足
Tn+1
an2
=
Tn
an+12
+16n2-8n-3
,b1=1,求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(3)求證:Sn
1
2
4n+1
-1
,n∈N*

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)=4|x|3-2a|x|.
(1)設(shè)f(x)圖象在點(diǎn)(-1,f(-1))處的切線方程是2x+y+b=0,求b的值.
(2)是否存在實(shí)數(shù)a,使得函數(shù)在[-1,1]內(nèi)的最小值為-2,若存在,求出a的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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