Question

設(shè)奇函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0+∞），且在（0，+∞）上為增函數(shù)．
（1）若f（1）=0，解關(guān)于x的不等式：f（1+log_ax）＞0（0＜a＜1）．
（2）若f（-2）=-1，當(dāng)m＞0，n＞0時(shí)，恒有f（m•n）=f（m）+f（n），求|f（t）+1|＜1時(shí)，t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，則在（-∞，0）也單調(diào)遞增
∵f（1）=-f（-1）=0
∴f（-1）=0
當(dāng)x＞1或-1＜x＜0時(shí)，f（x）＞0；
當(dāng)0＜x＜1或x＜-1時(shí)，f（x）＜0
∵f（1+log_ax）＞0
∴1+log_ax＞1或-1＜1+log_ax＜0
∵0＜a＜1
∴0＜x＜1或a^-1＜x＜2^-2
（2）∵f（-2）=-1
∴f（2）=-f（-2）=1
∵m＞0，n＞0時(shí)，恒有f（m•n）=f（m）+f（n），
∴f（4）=2f（2）=2，f（-4）=-2，f（1）=2f（1），則f（1）=-f（-1）=0
∵|f（t）+1|＜1
∴-2＜f（t）＜0
∴-4＜t＜-1
分析：（1）由已知可得，當(dāng)x＞1或-1＜x＜0時(shí)，f（x）＞0；當(dāng)0＜x＜1或x＜-1時(shí)，f（x）＜0，則由f（1+log_ax）＞0可得1+log_ax＞1或-1＜1+log_ax＜0可求
（2）由奇函數(shù)性質(zhì)可得f（2）=-f（-2）=1又由m＞0，n＞0時(shí)，恒有f（m•n）=f（m）+f（n），可求f（4）=2，f（-4）=-2，f（1）=f（-1）=0，從而可把|f（t）+1|＜1轉(zhuǎn)化為-2＜f（t）＜0可求
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的綜合運(yùn)用．在運(yùn)用抽象函數(shù)時(shí)，要注意賦值法的應(yīng)用，本題具有一定的綜合性