已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一個頂點(diǎn)為A（0，1），離心率為
2
2
，過點(diǎn)A的直線l與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，且|MN|=
4
2
3

（1）求橢圓的方程；
（2）求直線l的方程．
分析：（1）根據(jù)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一個頂點(diǎn)為A（0，1），離心率為
2
2
，建立方程組，求得a，b的值，即可求橢圓的方程；
（2）設(shè)出直線l的方程，代入橢圓方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用弦長公式，即可求得結(jié)論．
解答：解：（1）∵橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一個頂點(diǎn)為A（0，1），離心率為
2
2
，
∴
b=1
a2-b2
a2
=
1
2

∴a2=2，b=1
∴橢圓的方程為
x2
2
+y2=1；
（2）由題意，直線的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=kx+1，代入橢圓方程，消去y可得（1+2k2）x2+4kx=0
∴x=0或x=-
4k
1+2k2
，
∵|MN|=
4
2
3

∴
1+k2
|
4k
1+2k2
|=
4
2
3

∴k4-8k2+7=0
∴k=±1或k=±
7

∴直線l的方程為y=±x+1或y=±
7
x+1．
點(diǎn)評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，左頂點(diǎn)為A，若|F1F2|=2，橢圓的離心率為e=
1
2

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，
（Ⅱ）若P是橢圓上的任意一點(diǎn)，求
PF1
•
PA
的取值范圍
（III）直線l：y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)M，N（均不是長軸的頂點(diǎn)），AH⊥MN垂足為H且
AH
2=
MH
•
HN
，求證：直線l恒過定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)F（-c，0）是長軸的一個四等分點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點(diǎn)，記直線AD、BC的斜率分別為k1，k2
（1）當(dāng)點(diǎn)D到兩焦點(diǎn)的距離之和為4，直線l⊥x軸時，求k1：k2的值；
（2）求k1：k2的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率是
3
2
，且經(jīng)過點(diǎn)M（2，1），直線y=
1
2
x+m(m＜0)與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）當(dāng)m=-1時，求△MAB的面積；
（3）求△MAB的內(nèi)心的橫坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•威海二模）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e=
6
3
，過右焦點(diǎn)做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且兩交點(diǎn)與橢圓的左焦點(diǎn)及右頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)M（0，2），直線l：y=1，過M任作一條不與y軸重合的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，若N為AB的中點(diǎn)，D為N在直線l上的射影，AB的中垂線與y軸交于點(diǎn)P．求證：
ND
•
MP
AB
2
為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F，過F作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點(diǎn)，若|MN|=3，且橢圓離心率是方程2x2-5x+2=0的根，求橢圓方程．

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