Question

已知函數(shù)f（x）=x²+bx+c（b，c∈R），并設(shè)，
（1）若F（x）圖象在x=0處的切線(xiàn)方程為x-y=0，求b、c的值；
（2）若函數(shù)F（x）是（-∞，+∞）上單調(diào)遞減，則
①當(dāng)x≥0時(shí)，試判斷f（x）與（x+c）²的大小關(guān)系，并證明之；
②對(duì)滿(mǎn)足題設(shè)條件的任意b、c，不等式f（c）-Mc²≤f（b）-Mb²恒成立，求M的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲求b，c的值，根據(jù)所給的切線(xiàn)方程，只須求出切線(xiàn)斜率即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=0處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線(xiàn)的斜率進(jìn)而得切線(xiàn)方程，最后與所給的方程比較即得b，c的值；
（2）根據(jù)函數(shù)F（x）是（-∞，+∞）上單調(diào)遞減，得到F′（x）≤0恒成立，從而得到c＞b且c≥1，①令g（x）=f（x）-（x+c）²=（b-2c）x-c（c-1），從而得到結(jié)果；
②不等式f（c）-Mc²≤f（b）-Mb²恒成立等價(jià)于f（c）-f（b）≤M（c²-b²）恒成立，分離參數(shù)可得恒成立，轉(zhuǎn)化為求的最大值即可．
解答：解：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024190459965790414/SYS201310241904599657904019_DA/2.png">，所以，
又因?yàn)镕（x）圖象在x=0處的切線(xiàn)方程為x-y=0，
所以 ，即，解得 b=1，c=0．
（2）①因?yàn)镕（x）是（-∞，+∞）上的單調(diào)遞減函數(shù)，所以F′（x）≤0恒成立，
即-x²+（2-b）x+（b-c）≤0對(duì)任意的x∈R恒成立，
所以△=（2-b）²+4（b-c）≤0，所以，即c＞b且c≥1，
令g（x）=f（x）-（x+c）²=（b-2c）x-c（c-1），由b-2c＜0，知g（x）是減函數(shù)，
故g（x）在[0，+∞）內(nèi)取得最小值g（0），又g（0）=-c（c-1）≤0，
所以x≥0時(shí)，g（x）≤g（0）≤0，即f（x）≤（x+c）²．
②由①知，c≥|b|≥0，當(dāng)|b|=c時(shí)，b=c或b=-c，
因?yàn)閎²+4-4c≤0，即c²+4-4c≤0，解得c=2，b=2或b=-2，所以f（x）=x²±2x+2，
而f（c）-f（b）=c²+bc+c-b²-b²-c=c²+bc-2b²=（c+2b）（c-b），
所以f（c）-f（b）=-8或0，
不等式f（c）-Mc²≤f（b）-Mb²等價(jià)于f（c）-f（b）≤M（c²-b²），
變?yōu)?8≤M•0或0≤M•0恒成立，M∈R，
當(dāng)|b|≠c時(shí)，c＞|b|，即c²-b²＞0，所以不等式f（c）-Mc²≤f（b）-Mb²恒成立等價(jià)于恒成立，等價(jià)于，
而，
因?yàn)閏＞|b|，，所以，所以，所以，
所以，所以．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程，考查學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力和運(yùn)算求解能力，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法．屬難題．