直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=120°,AC=CB=A1A=1,D1是A1B1上一動點(可以與A1或B1重合),過D1和C1C的平面與AB交于D.
(Ⅰ)證明BC∥平面AB1C1;
(Ⅱ)若D1為A1B1的中點,求三棱錐B1-C1AD1的體積VB1-C1AD1
分析:(Ⅰ)直三棱柱ABC-A1B1C1中,由∠ACB=120°,AC=CB=A1A=1,知CB∥C1B1,由此能夠證明CB∥平面A B1C1
(Ⅱ)直三棱柱ABC-A1B1C1中,由D1為A1B1的中點,AC=CB=A1A=1,C1D1⊥A1B1,CC1⊥A1B1,故A1B1⊥平面CDD1C1,所以C1D⊥A1B1.故VE1-C1AD1=VC1-D1AB1,由此能求出三棱錐B1-C1AD1的體積VB1-C1AD1
解答:(Ⅰ)證明:∵直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=120°,
AC=CB=A1A=1,
∴CB∥C1B1,
又C1B1?平面A B1C1,
CB?平面A B1C1
所以CB∥平面A B1C1
(Ⅱ)解:直三棱柱ABC-A1B1C1中,
∵D1為A1B1的中點,AC=CB=A1A=1,
∴C1D1⊥A1B1,CC1⊥A1B1,
∴A1B1⊥平面CDD1C1,
∵C1D?平面CDD1C1,∴C1D⊥A1B1
∵∠ACB=120°,AC=CB=A1A=1,
∴D1B1=
1
2
A1B1=
1
2
1+1-2×1×1×cos120°
=
3
2
,
C1D1=
1
2
C1B1=
1
2
,
VE1-C1AD1=VC1-D1AB1
=
1
3
×C1D1×(
1
2
×A1A×D1B1
=
1
3
×
1
2
×(
1
2
×1×
3
2
)=
3
24

故三棱錐B1-C1AD1的體積為
3
24
點評:本題考查直線與平面平行的證明,考查三棱錐的體積的求法.解題時要認(rèn)真審題,仔細解答,注意合理地化空間問題為平面問題.
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3

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如圖,在直三棱柱ABC-A1 B1 C1中,AA1=1,AC⊥BC,AC=BC=2,則BC1與平面AB B1 A1所成角的正弦值是


  1. A.
    數(shù)學(xué)公式
  2. B.
    數(shù)學(xué)公式
  3. C.
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  4. D.
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A.
B.
C.
D.

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