Question

（09年海淀區(qū)期末文）（14分）

       直三棱柱A₁B₁C₁―ABC中，

   （I）求證：BC₁//平面A₁CD；

   （II）求二面角A―A₁C―D的大小。

Answer 1

 解析：（I）證明：連結(jié)AC₁，設(shè)連結(jié)DE，…………1分

A₁B₁C₁―ABC是直三棱柱，且

       AA₁CC₁是正方形，E是AC₁的中點(diǎn)，

       又D為AB中點(diǎn)，

  ED//BC₁…………3分

       又

       BC₁//平面A₁CD…………5分

   （II）法一：設(shè)H是AC中點(diǎn)，F(xiàn)是EC中點(diǎn)，連接DH，HF，F(xiàn)D…………6分

      

 D為AB中點(diǎn)，

  DH//BC，同理可證HF//AE，

       又

       又側(cè)棱

      

       …………8分

       由（I）得AA₁C₁C是正方形，則

      

       在平面AA₁C₁C上的射影，

      

       是二面角A―A₁C―D的平面角…………10分

       又……12分

       …………13分

    …………14分

       法二：在直三棱柱A₁B₁C₁―ABC中，

       分別以CA，CB，CC₁所在的直線為建立空間直角坐標(biāo)系，

      

       則……7分

      

 設(shè)平面A₁DC的法向量為則

       …………8分

      

      

       則…………9分

       取……10分

       為平面CAA₁C₁的一個(gè)法向量…………11分

       …………12分

       由圖可知，二面角A―A₁C―D的大小為…………14分