Question

已知f（x）定義在R上的奇函數(shù)，且x∈（0，2）時(shí)，f（x）=

3x

9x+1

．
（1）求f（x）在（-2，0）上的解析式；
（2）判斷f（x）在（0，2）上的單調(diào)性，并用定義證明．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性，從而求出函數(shù)的解析式；（2）設(shè)0＜x₁＜x₂＜2，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義，求出f（x₁）＞f（x₂），從而證出函數(shù)的單調(diào)性．

解答： 解：（1）x∈（-2，0）時(shí)，-x∈（0，2），
∴f(-x)=

3-x

9-x+1

=

3x

1+9x

，
∵f（x）為奇函數(shù)，
∴f（x）=-f（-x）=-

3x

1+9x

；
（2）設(shè)0＜x₁＜x₂＜2，
則3x1-3x2＜0，1-3x1+x2＜0，(9x1+1)(9x2+1)＞0，
∴f(x1)-f(x2)=

3x1

9x1+1

-

3x2

9x2+1

=

(3x1-3x2)(1-3x1+x2)

(9x1+1)(9x2+1)

＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，2）上是減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查了函數(shù)的奇偶性，是一道中檔題．