Question

本小題滿分13分）
已知圓，△ABC內(nèi)接于此圓，A點的坐標(biāo)(3,4)，O為坐標(biāo)原點．
(Ⅰ)若△ABC的重心是G(,2),求BC中點D的坐標(biāo)及直線BC的方程；
(Ⅱ)若直線AB與直線AC的傾斜角互補，求證：直線BC的斜率為定值.

Answer 1

(Ⅰ) x+y-2=0．  (Ⅱ)。

試題分析：（1）要求三角形頂點的坐標(biāo)，可先將它們的坐標(biāo)設(shè)出來，根據(jù)重心的性質(zhì)，我們不難求出BC邊上中點D的坐標(biāo)，及BC所在直線的斜率，代入直線的點斜式方程即可求出答案．
（2）若直線AB與直線AC的傾斜角互補，則他們的斜率互為相反數(shù)，又由他們都經(jīng)過A點，則可以設(shè)出他們的點斜式方程，代入圓方程后，求出BC兩點的坐標(biāo)，代入斜率公式，即可求證出正確的結(jié)論。
解：(Ⅰ)設(shè)B(x₁,y₁),C(x₂,y₂) 由題意可得：
 
,  ∴ BC中點的坐標(biāo)為（1,1）,
又B、C在已知圓上 ，故有：
   
相減得：
∴
∴直線BC的方程為y-1=-(x-1)，即x+y-2=0． …………………………6分
(Ⅱ)設(shè)AB：y=k(x-3)+4，代入圓的方程整理得：

∵3，x₁是上述方程的兩根

同理可得：

．       ……………13
點評：解決該試題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形重心的坐標(biāo)是三角形三個頂點坐標(biāo)的平均數(shù)，由重心坐標(biāo)及任意兩頂點的坐標(biāo)，構(gòu)造方程易求第三個頂點的坐標(biāo)；已知三個頂點的坐標(biāo)，代入重心坐標(biāo)公式，即得重心坐標(biāo)；如果已知重心坐標(biāo)和其中一個頂點的坐標(biāo)，則我們只能求出該頂點對邊上中點的坐標(biāo)．