Question

【題目】如圖（1）在等腰直角三角形中，，將沿中位線翻折得到如圖（2）所示的空間圖形，使二面角的大小為.

（1）求證：平面平面；

（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）證明∥，平面，可得平面，由面面垂直的判定定理即可證出平面平面；

（2）取的中點(diǎn)，所以，由（1）可知平面平面，所以平面，所以以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)平面的法向量為，利用空間向量法求解即可.

（1）由題意可知為的中位線，所以，

因?yàn)?/span>，所以，所以，

因?yàn)閳D（2）所示的空間圖形是由沿中位線翻折得到的，

所以，，又，

所以平面，所以平面，

因?yàn)?/span>平面，所以平面平面；

（2）由（1）可知二面角的平面角即為，所以，

因?yàn)?/span>，所以為等邊三角形，

如圖取的中點(diǎn)，所以，由（1）可知平面平面，

平面平面，平面，

所以平面，所以以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)圖1等腰直角中，則圖2中，

則，，，，

所以，，，

設(shè)平面的法向量為，

所以有，即，取，

設(shè)直線與平面所成的角為，

所以，

所以直線與平面所成的角的正弦值為.