Question

【題目】已知向量=（4cos2（-），cosx+sinx），=（sinx，cosx-sinx），設(shè)f（x）=-1

（1）求滿足|f（x）|≤1的實(shí)數(shù)x的集合；

（2）若函數(shù)φ（x）=[f（2x）+tf（x）-tf（-x）]-（1+）在[-，]上的最大值為2，求實(shí)數(shù)t的值．

Answer 1

【答案】(1) {x|kπ-≤x≤kπ+，k∈Z}.(2) t=-2或6．

【解析】

（1）由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和二倍角公式、誘導(dǎo)公式，化簡可得，再由正弦函數(shù)的圖象可得所求集合；

（2）化簡，由換元法和二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求法，可得所求最大值，解方程可得所求值．

（1）由題意，向量（4cos2（-），cosx+sinx），（sinx，cosx-sinx），

則f（x）=4sinxcos2（-）+（cosx+sinx）（cosx-sinx）-1

=2sinx（1+cos（x-））+cos2x-sin2x-1=1-cos2x+cos2x+2sinx-1=2sinx，

|f（x）|1，即為2|sinx|1，即- sinx ，

可得kπ- xkπ+，k∈Z，

則滿足|f（x）|1的實(shí)數(shù)x的集合為{x|kπ- xkπ+，k∈Z}；

（2）由題意，函數(shù)

=[2sin2x+2tsinx-2tcosx]-（1+），

可令u=sinx-cosx=sin（x-），x∈[-，]，即有x-∈[-，]，

可得u∈[-，1]，

sin2x=1-u2，g（u）=1-u2+ut-1-=-（u-t）2+-t，

當(dāng)t＞1即t＞2時(shí)，g（u）max=g（1）=t-1，由g（1）=2，可得t=6；

當(dāng)-≤t≤1，即-2≤t≤2時(shí)，則g（t）=-t，

由-t=2，解得t=-2（4舍去）；

當(dāng)t＜-，即t＜-2時(shí)，g（u）max=g（-）=-2-t-t，

由-2-t-t=2，可得t=-（舍去）．

綜上可得t=-2或6．