Question

16．已知復數(shù)Z₁=2+ai（其中a∈R且a＞0，i為虛數(shù)單位），且$Z_1^2$為純虛數(shù)．
（1）求實數(shù)a的值；            
（2）若$Z=\frac{Z_1}{1-i}$，求復數(shù)Z的模|Z|．

Answer 1

分析 （1）直接把Z₁代入$Z_1^2$化簡，再根據(jù)$Z_1^2$為純虛數(shù)，且a＞0求解即可得答案；        
（2）直接利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由復數(shù)求模公式計算得答案．

解答 解：（1）由Z₁=2+ai，
得$Z_1^2$=（2+ai）²=4-a²+4ai，
∵$Z_1^2$為純虛數(shù)，且a＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4-{a}^{2}=0}\\{4a≠0}\end{array}\right.$，
解得a=2；
（2）$Z=\frac{Z_1}{1-i}$=$\frac{2+2i}{1-i}=\frac{（2+2i）（1+i）}{（1-i）（1+i）}=2i$，
則|Z|=2．

點評 本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復數(shù)的基本概念及復數(shù)求模公式的運用，是基礎題．