Question

已知函數(shù)f（x）=2x-3，g（x）=x²，F(xiàn)（x）=（1-m）f（x）+mg（x）+

1

m

（m＞0）．
（1）求集合A={x|f（x）+g（x）＞0}；
（2）是否在正數(shù)m，使得當x∈A時，F(xiàn)（x）的最小值為3？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由；
（3）設全集U=R，若集合{x|F（x）=0，x∈∁_UA}≠∅，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,抽象函數(shù)及其應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：對于（1），直接解不等式即可；對于（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求二次函數(shù)的最小值解方程即可；
對于（3），需要討論二次函數(shù)在∁_UA=[-3，1]上解的存在情況即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=2x-3，g（x）=x²，∴f（x）+g（x）＞0，可以化為：x²+2x-3＞0
∴不等式的解為：x＜-3或x＞1，∴A={x|f（x）+g（x）＞0}=（-∞，-3）∪（1，+∞）．
（2）∵f（x）=2x-3，g（x）=x²，∴F（x）=（1-m）f（x）+mg（x）+

1

m

=mx²+2（1-m）x+3m+

1

m

-3（m＞0）
∵A=（-∞，-3）∪（1，+∞），m＞0，最小值只能在頂點處．∵x=-

2(1-m)

2m

=1-

1

m

是對稱軸，
∴F（1-

1

m

）=m（1-

1

m

）²+2（1-m）（1-

1

m

）+3m+

1

m

-3=2m-1，有已知，得2m-1=3，∴m=2，而1-

1

m

=

1

2

∉A，故不存在滿足題意的正數(shù)m．
（3）由（1）可知，∁_UA=[-3，1]，要使集合{x|F（x）=0，x∈∁_UA}≠∅，只要F（x）=0在A上有解即可，下面對解的情況分類討論：
①F（-3）=0，得18m+

1

m

-9=0，∴18m²-9m+1=0，∴m=

1

3

，或m=

1

6

②F（1）=0，得2m²-m+1=0，∴m=-1，或m=

1

2

③F（x）=0在（-3，1）有解
1°F（x）=0在（-3，1）上有兩解?

△≥0 -3＜1- 1 m ＜1 F(-3)＞0 F(1)＞0

?

8m2-4m≤0 m＞ 1 4 18m2-9m+1＞0 2m+ 1 m -1＞0

?

0≤m≤ 1 2 m＞ 1 4 m＜ 1 6 或m＞ 1 3 m＜- 1 2 或m＞1

?m∈∅

2°F（x）=0在（-3，1）上有一解?F（-3）F（1）＜0?（18m²-9m+1）（2m²-m+1）＜0?（6m-1）（3m-1）（2m+1）（m-1）＜0，
∴m∈（-

1

2

，

1

6

）∪（

1

3

，1）
綜上，m的取值范圍是（-

1

2

，

1

6

]∪[

1

3

，1）

點評：本題考查了一元二次不等式的解法，二次函數(shù)的最小值以及二次函數(shù)的區(qū)間根問題，綜合性較強，屬于高檔題目．