已知a∈R，函數(shù)f(x)＝＋lnx－1，g(x)＝(lnx－1)ex＋x(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))．

(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，e]上的最小值；

(2)是否存在實(shí)數(shù)x0∈(0，e]，使曲線y＝g(x)在點(diǎn)x＝x0處的切線與y軸垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

答案：
解析：

　　(1)解：∵，∴．

　　令，得．

　　若，則，在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)無(wú)最小值．

　　若，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

　　當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

　　所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值．

　　若，則，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

　　所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值．

　　綜上可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上無(wú)最小值；

　　當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為；

　　當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為．

　　(2)解：∵，，

　　∴

　　．

　　由(1)可知，當(dāng)時(shí)，．

　　此時(shí)在區(qū)間上的最小值為，即．

　　當(dāng)，，，

　　∴．

　　曲線在點(diǎn)處的切線與軸垂直等價(jià)于方程有實(shí)數(shù)解．

　　而，即方程無(wú)實(shí)數(shù)解．

　　故不存在，使曲線在點(diǎn)處的切線與軸垂直．


提示：

本小題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等知識(shí)，考查分類討論，化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力和運(yùn)算求解能力


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知a∈R，函數(shù)f(x)=
1
12
x3+
a+1
2
x2+(4a+1)x．
（Ⅰ）如果函數(shù)g（x）=f′（x）是偶函數(shù)，求f（x）的極大值和極小值；
（Ⅱ）如果函數(shù)f（x）是（-∞，?+∞）上的單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知a∈R，函數(shù)f（x）=ln（x+1）-x2+ax+2．
（1）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）令a=-1，b∈R，已知函數(shù)g（x）=b+2bx-x2．若對(duì)任意x1∈（-1，+∞），總存在x2∈[-1，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知a∈R，函數(shù)f(x)=
a
x
+lnx-1，g(x)=(lnx-1)
e
x
 
+x（其中e為自然對(duì)數(shù)的底）．
（1）當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值；
（2）是否存在實(shí)數(shù)x0∈（0，e]，使曲線y=g（x）在點(diǎn)x=x0處的切線與y軸垂直？若存在求出x0的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•太原一模）已知a∈R，函數(shù) f（x）=x3+ax2+（a-3）x的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，則曲線y=f（x）在原點(diǎn)處的切線方程為
3x+y=0
3x+y=0
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•浙江）已知a∈R，函數(shù)f（x）=x3-3x2+3ax-3a+3．
（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，求|f（x）|的最大值．

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