Question

某種平面分形圖如下圖所示，一級(jí)分形圖是由一點(diǎn)出發(fā)的三條線段，長(zhǎng)度均為1，兩兩夾角為；二級(jí)分形圖是在一級(jí)分形圖的每條線段的末端出發(fā)再生成兩條長(zhǎng)度為原來(lái)的線段，且這兩條線段與原線段兩兩夾角為；依此規(guī)律得到級(jí)分形圖.

（1） 級(jí)分形圖中共有 條線段；

（2） 級(jí)分形圖中所有線段長(zhǎng)度之和為 ．

 

Answer 1

（1）（2）

【解析】

試題分析：

（1）顯然當(dāng)時(shí)，有3條線段，

當(dāng)時(shí),3條線段的另一端各增加2條線段,所以新增線段條,故此時(shí)共有條線段;

當(dāng)時(shí),在時(shí)新增的線段的另一端各增加2條線段,所以新增線段條,故此時(shí)共有條線段;

依次類(lèi)推,每次都是在上一次的新增線段的另一端各增加2條線段,所以推斷出級(jí)分形圖中,有線段

條.

（2）設(shè)級(jí)分形圖中所有線段長(zhǎng)度之和為,根據(jù)題意,

顯然, 構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為3,公比為的等比數(shù)列的和.

所以.

考點(diǎn)：觀察圖像,總結(jié)規(guī)律,找到數(shù)列,等比數(shù)列求和公式;類(lèi)比法.