Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足：a_n+1=a_n²-na_n+1，n=1，2，3，…
（1）當a₁=2時，求a₂，a₃，a₄并由此猜測a_n的一個通項公式；
（2）當a₁≥3時，證明對所的n≥1，有
①a_n≥n+2
②

1

1+a1

+

1

1+a2

+

1

1+a3

+…+

1

1+an

≤

1

2

Answer 1

分析：本題考查的知識點是歸納推理和數(shù)學歸納法．
（1）由列{a_n}滿足：a_n+1=a_n²-na_n+1，n=1，2，3，…及a₁=2，我們易得到a₂，a₃，a₄的值，歸納數(shù)列中每一項的值與序號的關(guān)系，我們可以歸納推理出a_n的一個通項公式．
（2）①a_n≥n+2的證明可以使用數(shù)學歸納法，先證明n=1時不等式成立，再假設(shè)n=k時不等式成立，進而論證n=k+1時，不等式依然成立，最終得到不等式a_n≥n+2恒成立．②的證明用數(shù)學歸納法比較復雜，觀察到不等式的結(jié)構(gòu)形式，可采用放縮法進行證明．

解答：解（1）由a₁=2，得a₂=a₁²-a₁+1=3
由a₂=3，得a₃=a₂²-2a₂+1=4
由a₃=4，得a₄=a₃²-3a₃+1=5
由此猜想a_n的一個通項公式：a_n=n+1（n≥1）
（2）（i）用數(shù)學歸納法證明：
①當n=1時，a₁≥3=1+2，不等式成立．
②假設(shè)當n=k時不等式成立，即a_k≥k+2，那么a_k+1=a_k（a_k-k）+1≥（k+2）（k+2-k）+1=2k+5≥k+3．
也就是說，當n=k+1時，a_k+1≥（k+1）+2
據(jù)①和②，對于所有n≥1，有a_n≥n+2．
（ii）由a_n+1=a_n（a_n-n）+1及（i），對k≥2，有a_k=a_k-1（a_k-1-k+1）+1≥a_k-1（k-1+2-k+1）+1=2a_k-1+1
a_k≥2^k-1a₁+2^k-2++2+1=2^k-1（a₁+1）-1
于是

1

1+ak

≤

1

1+a1

•

1

2k-1

，k≥2

n

k=1

1

1+ak

≤

1

1+a1

+

1

1+a1

n

k=2

1

2k-1

=

1

1+a1

n

k=1

1

2k-1

≤

2

1+a1

≤

2

1+3

=

1

2

點評：歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）．但歸納推理的結(jié)論不一定正確，我們要利用數(shù)學歸納法等方法對歸納的結(jié)論進行進一步的論證．