Question

拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為y軸，它與圓x²+y²=9相交，公共弦MN的長(zhǎng)為2

5

，求該拋物線的方程，并寫(xiě)出它的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程．

Answer 1

分析：根據(jù)公共弦長(zhǎng)為2

5

，設(shè)M（m，-

5

）、N（m，

5

），代入圓方程解出m=±2，從而得出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)．再設(shè)拋物線方程為x²=2ay（a≠0），代入M、N坐標(biāo)解出a值，即可得到拋物線的方程，進(jìn)而可得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程．

解答：解：∵拋物線與圓x²+y²=9相交，公共弦MN的長(zhǎng)為2

5

，
∴設(shè)M（m，-

5

）、N（m，

5

）．
將M、N坐標(biāo)代入圓方程，得m²+5=9，解得m=±2（舍負(fù)），
∴M（2，-

5

）、N（2，

5

），或M（-2，-

5

）、N（-2，

5

），
設(shè)拋物線方程為x²=2ay（a≠0），
∵點(diǎn)M、N在拋物線上，
∴5=2a×（±2），解得2a=±

5

2

，
故拋物線的方程為x²=

5

2

y或x²=-

5

2

y．
拋物線x²=

5

2

y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，

5

8

），準(zhǔn)線方程為y=-

5

8

；
拋物線x²=-

5

2

y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-

5

8

），準(zhǔn)線方程為y=

5

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題已知拋物線與圓相交所得的弦長(zhǎng)，求拋物線的方程．著重考查了直線與圓的位置關(guān)系、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．