Question

如圖所示，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°的菱形，側(cè)面PAD為正三角形，其所在

平面垂直于底面ABCD.

(1)求證：AD⊥PB.

(2)若E為BC邊的中點(diǎn)，能否在棱PC上找到一點(diǎn)F，使平面DEF⊥平面ABCD？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

解析：(1)方法一，如圖，取AD中點(diǎn)G，連接PG，BG，BD.

∵△PAD為等邊三角形，∴PG⊥AD，

又∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PG⊥平面ABCD.

在△ABD中，∠A＝60°，AD＝AB，∴△ABD為等邊三角形，∴BG⊥AD，

∴AD⊥平面PBG，∴AD⊥PB.

方法二，如圖，取AD中點(diǎn)G

∵△PAD為正三角形，∴PG⊥AD

又易知△ABD為正三角形

∴AD⊥BG.

又BG，PG為平面PBG內(nèi)的兩條相交直線，

∴AD⊥平面PBG.

∴AD⊥PB.

(2)連接CG與DE相交于H點(diǎn)，

在△PGC中作HF∥PG，交PC于F點(diǎn)，

∴FH⊥平面ABCD，

∴平面DHF⊥平面ABCD，

∵H是CG的中點(diǎn)，∴F是PC的中點(diǎn)，

∴在PC上存在一點(diǎn)F，即為PC的中點(diǎn)，使得平面DEF⊥平面ABCD.