己知向量a=(2sin
x
2
，1-
2
cos
x
2
)，b=(cos
x
2
，1+
2
cos
x
2
)，函數(shù)f(x)=log
1
2
（a•b）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的定義域和值域；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅰ）∵
a
•
b
=2sin
x
2
cos
x
2
+(1-
2
cos
x
2
)(1+
2
cos
x
2
)=sinx+1-2cos2
x
2

=sinx-cosx=
2
sin(x-
π
4
)．
由sin(x-
π
4
)＞0，
得2kπ＜x-
π
4
＜2kπ+π，
即2kπ+
π
4
＜x＜2kπ+
5π
4
，k∈Z．
∴f（x）的定義域是(2kπ+
π
4
，2kπ+
5π
4
)，k∈Z．
∵0＜
2
sin(x-
π
4
)≤
2
，則f(x)≥log
1
2
2
=-
1
2
，
∴f（x）的值域是[-
1
2
，+∞)．
（Ⅱ）由題設(shè)f(x)=log
1
2
2
sin(x-
π
4
)．
若f（x）為增函數(shù)，則y=
2
sin(x-
π
4
)為減函數(shù)，
∴2kπ+
π
2
≤x-
π
4
＜2kπ+π，
即2kπ+
3π
4
≤x＜2kπ+
5π
4
，
∴f（x）的遞增區(qū)間是[2kπ+
3π
4
，2kπ+
5π
4
)，k∈Z．
若f（x）為減函數(shù)，則y=
2
sin(x-
π
4
)為增函數(shù)，
∴2kπ＜x-
π
4
≤2kπ+
π
2
，即2kπ+
π
4
＜x≤2kπ+
3π
4
，
∴f（x）的遞減區(qū)間是(2kπ+
π
4
，2kπ+
3π
4
]，k∈Z．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(
2
sinx
，
-1
sinx
)，
b
=(1，cos2x)且x∈(0，
π
2
]，
（Ⅰ）若
a
與
b
是兩個(gè)共線向量，求x的值；
（Ⅱ）若f(x)=
a
•
b
，求函數(shù)f（x）的最小值及相應(yīng)的x的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

己知向量a=(2sin
x
2
，1-
2
cos
x
2
)，b=(cos
x
2
，1+
2
cos
x
2
)，函數(shù)f(x)=log
1
2
（a•b）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的定義域和值域；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(2sinx，cosx)，
b
=(
3
cosx，2cosx)，定義函數(shù)f(x)=
a
•
b
-1
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（Ⅲ）在答卷的坐標(biāo)系中畫出函數(shù)g(x)=f(x)，x∈[-
π
12
，
11π
12
]的簡(jiǎn)圖，并由圖象寫出g（x）的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2005•南匯區(qū)一模）已知向量
a
={2sinx，cosx}，
b
={
3
cosx，2cosx}定義函數(shù)f（x）=
a
•
b
-1．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期．
（2）x∈R時(shí)求函數(shù)f（x）的最大值及此時(shí)的x值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(2sinx，sinx-cosx)，
b
=(cosx，
3
(cosx+sinx))，函數(shù)f(x)=
a
•
b
+1
（1）當(dāng)x∈(
π
4
，
π
2
)時(shí)，求f（x）的最大值和最小值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

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