Question

設(shè)拋物線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，且以直線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn)．

（1）求拋物線(xiàn)頂點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）若直線(xiàn)與軌跡交于不同的兩點(diǎn)，且線(xiàn)段恰被直線(xiàn)平分，設(shè)弦MN的垂直平分線(xiàn)的方程為，試求的取值范圍．

Answer 1

解：（1）設(shè)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為，則其焦點(diǎn)為．由拋物線(xiàn)的定義可知：． 所以，．

       所以，拋物線(xiàn)頂點(diǎn)的軌跡的方程為：  ．

       （2）因?yàn)?img width=17 height=15 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/0688/455/352955.gif" >是弦MN的垂直平分線(xiàn)與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由MN所唯一確定．所以，要求的取值范圍，還應(yīng)該從直線(xiàn)與軌跡相交入手．

顯然，直線(xiàn)與坐標(biāo)軸不可能平行，所以，設(shè)直線(xiàn)的方程為，代入橢圓方程得：

       由于與軌跡交于不同的兩點(diǎn)，所以，，即：．（＊）

       又線(xiàn)段恰被直線(xiàn)平分，所以，．

       所以，．

       代入（＊）可解得：．

由于為弦MN的垂直平分線(xiàn)，設(shè)MN的中點(diǎn)．

在中，令，可解得：．

將點(diǎn)代入，可得：．

所以，．

另解．設(shè)弦MN的中點(diǎn)為，則由點(diǎn)為橢圓上的點(diǎn)，

可知：．

兩式相減得：

又由于，

代入上式得：．

又點(diǎn)在弦MN的垂直平分線(xiàn)上，所以，．

所以，．

由點(diǎn)在線(xiàn)段BB’上（B’、B為直線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)，如圖），所以，．

也即：．所以，