Question

設拋物線過定點，且以直線為準線．

（1）求拋物線頂點的軌跡的方程；

（2）若直線與軌跡交于不同的兩點，且線段恰被直線平分，設弦MN的垂直平分線的方程為，試求的取值范圍．

Answer 1

解：（1）設拋物線的頂點為，則其焦點為．由拋物線的定義可知：． 所以，．

       所以，拋物線頂點的軌跡的方程為：  ．

       （2）因為是弦MN的垂直平分線與y軸交點的縱坐標，由MN所唯一確定．所以，要求的取值范圍，還應該從直線與軌跡相交入手．

顯然，直線與坐標軸不可能平行，所以，設直線的方程為，代入橢圓方程得：

       由于與軌跡交于不同的兩點，所以，，即：．（＊）

       又線段恰被直線平分，所以，．

       所以，．

       代入（＊）可解得：．

由于為弦MN的垂直平分線，設MN的中點．

在中，令，可解得：．

將點代入，可得：．

所以，．

另解．設弦MN的中點為，則由點為橢圓上的點，

可知：．

兩式相減得：

又由于，

代入上式得：．

又點在弦MN的垂直平分線上，所以，．

所以，．

由點在線段BB’上（B’、B為直線與橢圓的交點，如圖），所以，．

也即：．所以，