Question

已知函數(shù)f（x）=x²-ax+3在（0，1）上為減函數(shù)，函數(shù)g（x）=x²-alnx在區(qū)間（1，2）上為增函數(shù)．
（I）求a的值；
（Ⅱ）試判斷方程f（x）=2g（x）+m（m＞-1）在（0，+∞）上解的個數(shù)，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意知，f'（x）≤0在x∈（0，1）上恒成立以及g'（x）≥0在x∈（1，2）上恒成立，進(jìn)而求出a的值；
（Ⅱ）令，得到函數(shù)h（x）的最小值，再對m分類討論，即可得到方程f（x）=2g（x）+m（m＞-1）在（0，+∞）上解的個數(shù)．
解答：解：（I）∵函數(shù)f（x）=x²-ax+3在（0，1）上為減函數(shù)，
依題意f'（x）≤0在x∈（0，1）上恒成立，
得2x≤a在x∈（0，1）上恒成立，
∴a≥2…（2分）
又∵，依題意g'（x）≥0在x∈（1，2）上恒成立，
得2x²≥a在x∈（1，2）上恒成立，有a≤2，
∴a=2…（6分）
（Ⅱ）

當(dāng)x∈（0，1）時，h'（x）＜0，h（x）在（0，1）上為減函數(shù)；
當(dāng)x∈（1，+∞）時，h'（x）＞0，h（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)．
∴h_min（x）=h（1）=m
∴h（x）≥h（1）=m，即2g（x）+m-f（x）≥m…（8分）
①當(dāng)m＞0時，

②當(dāng)m=0時，2g（x）≥f（x），當(dāng)且僅當(dāng)x=1時，2g（x）=f（x），
∴f（x）=2g（x）+m在（0，+∞）上僅有一個解x=1；…（11分）
③當(dāng)-1＜m＜0時，

∴h（x）在和（1，e）內(nèi)各有一個零點(diǎn)，即f（x）=2g（x）+m在（0，+∞）上有二個解．…（14分）
點(diǎn)評：此題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，第一問比較簡單，第二問就了思路簡單，但是討論情況多比較復(fù)雜，是一道中檔題；