設(shè)函數(shù)f（x）對任意的實數(shù)x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＜0時，f（x）＜0，f（-1）=-2．
（1）求證：f（x）是奇函數(shù)；
（2）試問當(dāng)-2≤x≤2時，f（x）是否有最大值或最小值？如果有，求出最值；如果沒有，請說出理由．
分析：（1）采用賦值法，令令x=y=0得f（0）=0，再令令y=-x即可；
（2）可先利用單調(diào)性的定義判斷f（x）在-2≤x≤2時的單調(diào)性，再求最值．
解答：解：（1）證明：依題意 令x=y=0得f（0）=0，
令y=-x得 f（0）=f（x）+f（-x），
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）是奇函數(shù)；
（2）有最大值4，最小值-4．理由如下：
設(shè)-2≤x1＜x2≤2，則x1-x2＜0，有已知可得f（x1-x2）＜0
∵f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=f（x1-x2）＜0
∴f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在區(qū)間[-2，2]上是增函數(shù)．
又∵f（-2）=2f（-1）=-4，f（2）=-f（-2）=4
∴當(dāng)-2≤x≤2時，f（x）max=f（2）=4，f（x）min=f（-2）=-4．
點評：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，著重考查函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性的概念及其應(yīng)用，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）對任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且當(dāng)x＞0時，f（x）＜0，f（1）=-2
（1）證明f（x）為奇函數(shù)．
（2）證明f（x）在R上是減函數(shù)．
（3）若f（2x+5）+f（6-7x）＞4，求x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y），若x＞0時，f（x）＜0，且f（1）=2，
①求f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值．
②解不等式f（t-1）+f（t）＜0．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）對任意x∈R，都有f(x+3)=-
1
f(x)
，且當(dāng)x∈（-3，-2）時，f（x）=5x，則f（201.2）=（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）對任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），當(dāng)x≠0時，xf（x）＜0，f（1）=-2
（1）求證：f（x）是奇函數(shù)；
（2）試問：在-n≤x≤n時（n∈N*），f（x）是否有最大值？如果有，求出最大值，如果沒有，說明理由．
（3）解關(guān)于x的不等式
1
2
f(bx2)-f(x)≥
1
2
f(b2x)-f(b)，(b＞0)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0時，f（x）＜0，f（1）=-2．
（1）求證f（x）是奇函數(shù)；
（2）求f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值．

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