證明方程x3-3x+1=0在區(qū)間(1,2)內(nèi)必有一根,并求出這個根的近似值(精確到0.01).

      證明:令f(x)=x3-3x+1,則f(x)在區(qū)間[1,2]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線.

          ∵f(1)=1-3+1=-1<0,

          f(2)=8-6+1=3>0,

          ∴f(1)·f(2)<0,

          ∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)必有一零點,

          ∴方程x3-3x+1=0在區(qū)間(1,2)內(nèi)必有一根x0.

          取區(qū)間(1,2)的中點x1=1.5,

          用計算器算得f(1.5)=-0.125.

          因為f(1.5)·f(2)<0,

          所以x0∈(1.5,2).

          再取(1.5,2)的中點x2=1.75,

          用計算器算得f(1.75)=1.109 375.

          因為f(1.5)·f(1.75)<0,

          所以x0∈(1.5,1.75).

          又。1.5,1.75)的中點x3=1.625.

          用計算器算得f(1.625)=0.416 015 625.

          因為f(1.5)·f(1.625)<0,

          所以x0∈(1.5,1.625).

          取(1.5,1.625)的中點x4=1.562 5,

          用計算器算得f(1.562 5)=0.127 197 265 625.

          因為f(1.5)·f(1.562 5)<0,

          所以x0∈(1.5,1.562 5).

          。1.5,1.562 5)的中點x5=1.531 25時,

          用計算器算得

          f(1.531 25)=-0.003 387 451 171 875.

          因為f(1.531 25)·f(1.562 5)<0,

          所以x0∈(1.531 25,1.562 5).

          。1.531 25,1.562 5)的中點

          x6=1.546 875時,

          用計算器算得

          f(1.546 875)=0.060 771 942 138 671 875.

          因為f(1.531 25)·f(1.546 875)<0,

          所以x0∈(1.531 25,1.546 875).

          同理,可算得  f(1.531 25)·f(1.539 062 5)<0,

          x0∈(1.531 25,1.539 062 5);f(1.531 25)·

          f(1.535 156 25)<0,x0∈(1.531 25,1.535 156 25).

          又當。1.531 25,1.535 156 25)的中點x9=1.533 203 125時,

          f(1.531 25)·f(1.533 203 125)<0,

          即x0∈(1.531 25,1.533 203 125).

          由于|1.531 25-1.533 203 125|=0.001 953 125<0.01,

          此時區(qū)間(1.531 25,1.533 203 125)的兩個端點精確到0.01的近似值都是1.53,所以原方程精確到0.01的近似值為1.53.

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