Question

4．P到$（0，\sqrt{3}），（0，-\sqrt{3}）$距離之和為4，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C，直線y=kx+1與C交于AB
（Ⅰ）求C的方程        
（Ⅱ）若$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，求k．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)P（x，y），由橢圓定義可知其軌跡為橢圓；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立化為（k²+4）x²+2kx-3=0．由$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，可得x₁x₂+y₁y₂=0．把根與系數(shù)的關(guān)系代入即可得出．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)P（x，y），由橢圓定義可知，點(diǎn)P的軌跡C是以$（0，-\sqrt{3}），（0，\sqrt{3}）$為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸為2的橢圓．
它的短半軸$b=\sqrt{{2^2}-{{（\sqrt{3}）}^2}}=1$，
故曲線C的方程為${x^2}+\frac{y^2}{4}=1$．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐標(biāo)滿足$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+\frac{y^2}{4}=1\\ y=kx+1.\end{array}\right.$
消去y并整理得（k²+4）x²+2kx-3=0，
故${x_1}+{x_2}=-\frac{2k}{{{k^2}+4}}，{x_1}{x_2}=-\frac{3}{{{k^2}+4}}$
若$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，即x₁x₂+y₁y₂=0．
而${y_1}{y_2}={k^2}{x_1}{x_2}+k（{x_1}+{x_2}）+1$，
于是${x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=-\frac{3}{{{k^2}+4}}-\frac{{3{k^2}}}{{{k^2}+4}}-\frac{{2{k^2}}}{{{k^2}+4}}+1=0$，化簡(jiǎn)得-4k²+1=0，
解得$k=±\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓相交問(wèn)題、一元二次的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．