Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面ABB₁A₁，ACC₁A₁均為正方形，∠BAC=90°，點D是棱B₁C₁的中點．
（Ⅰ）求證：A₁D⊥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）求證：AB₁∥平面A₁DC；
（Ⅲ）求二面角D-A₁C-A的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中側(cè)面ABB₁A₁，ACC₁A₁均為正方形，由正方形的幾何特征結(jié)合線面垂直的判定，易得AA₁⊥平面ABC，即三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，再由點D是棱B₁C₁的中點，結(jié)合等腰三角形“三線合一”，及直三棱柱的幾何特征，結(jié)合線面垂直的判定定理，即可得到A₁D⊥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）連接AC₁，交A₁C于點O，連接OD，由正方形的幾何特征及三角形中位線的性質(zhì)，可得OD∥AB₁，進而結(jié)合線面平行的判定定理，我們易得，AB₁∥平面A₁DC；
（Ⅲ）因為AB，AC，AA₁兩兩互相垂直，故可以以A坐標原點，建立空間坐標系，求出幾何體中各頂點的坐標，進而求出平面DA₁C與平面A₁CA的法向量，代入向量夾角公式，即可得到答案．
解答：（Ⅰ）證明：因為側(cè)面ABB₁A₁，ACC₁A₁均為正方形，
所以AA₁⊥AC，AA₁⊥AB，
所以AA₁⊥平面ABC，三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱．（1分）
因為A₁D?平面A₁B₁C₁，所以CC₁⊥A₁D，（2分）
又因為A₁B₁=A₁C₁，D為B₁C₁中點，
所以A₁D⊥B₁C₁．（3分）
因為CC₁∩B₁C₁=C₁，
所以A₁D⊥平面BB₁C₁C．（4分）
（Ⅱ）證明：連接AC₁，交A₁C于點O，連接OD，
因為ACC₁A₁為正方形，所以O為AC₁中點，又D為B₁C₁中點，
所以OD為△AB₁C₁中位線，所以AB₁∥OD，（6分）
因為OD?平面A₁DC，AB₁?平面A₁DC，
所以AB₁∥平面A₁DC．（8分）
（Ⅲ）解：因為側(cè)面ABB₁A₁，ACC₁A₁均為正方形，∠BAC=90°，
所以AB，AC，AA₁兩兩互相垂直，如圖所示建立直角坐標系A-xyz．
設AB=1，則.，（9分）
設平面A₁DC的法向量為n=（x，y，z），則有，，x=-y=-z，
取x=1，得n=（1，-1，-1）．（10分）
又因為AB⊥平面ACC₁A₁，所以平面ACC₁A₁的法向量為，（11分），（12分）
因為二面角D-A₁C-A是鈍角，
所以，二面角D-A₁C-A的余弦值為．（13分）
點評：本題考查的知識點是二面角的平面角的求法，直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，其中熟練掌握線面關系的判定、性質(zhì)、定義及幾何特征是解答線面關系判定的關鍵，而利用向量法求二面角的關鍵是建立適當?shù)淖鴺讼担?