Question

已知a、b、c∈R，函數(shù)f（x）=x³-ax²+bx-c，f'（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（Ⅰ）若f'（x）的值域為[0，+∞），求a，b的關(guān)系式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）問的條件下，求目標函數(shù)z=2a-b的最大值；
（Ⅲ）若a∈Z，b∈Z且|b|＜2，f（x）在x=α，x=β處取得極值，且-1＜α＜0＜β＜1，試求方程f（x）=0的三個根兩兩不等時c的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）f'（x）=3x²-2ax+b，由已知得3x²-2ax+b=0的判別式△=0，即得a，b的關(guān)系式；
（Ⅱ）由 z=2a-b得b=2a-z，為使z最大，只需-z最�。�在坐標系aOb中，拋物線和直線b=2a-z相切時滿足條件即可求出z的最大值；
（III）由已知f′（x）=3x²-2ax+b=0有兩個不等的實根α，β，因為-1＜α＜0＜β＜1，根據(jù)實根分布，列出關(guān)于c的不等關(guān)系，解之得此方程三個根兩兩不等時c的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）f'（x）=3x²-2ax+b，由已知得3x²-2ax+b=0的判別式△=0
得．…（4分）．
（Ⅱ）由 z=2a-b得b=2a-z，為使z最大，只需-z最小．
在坐標系aOb中，拋物線和直線b=2a-z相切時滿足條件．
令切點M（m，n）.，由得a=3，則M（3，3）．
所以z的最大值等于2×3-3=3．…（8分）
（Ⅲ）令f（x）=x³-ax²+bx-c，要f（x）=0有三個不等的實數(shù)根，
則函數(shù)f（x）有一個極大值和一個極小值，且極大值大于0，極小值小于0．
由已知，得f'（x）=3x²-2ax+b=0有兩個不等的實根α，β．
∵-1＜α＜0＜β＜1．
∴．
又|b|＜2，b＜0，
∴b=-1代入（1）（3）得a=0．
∴處取得極大值，
在x=處取得極小值．故f（x）=0要有三個兩兩不等的實數(shù)根，
則必須
得．…（14分）
點評：本小題主要考查簡單線性規(guī)劃、函數(shù)在某點取得極值的條件、一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系、不等式的解法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．