Question

已如點(diǎn)M（1，0）及雙曲線

x2

3

-y2=1的右支上兩動點(diǎn)A，B，當(dāng)∠AMB最大時(shí)，它的余弦值為（　�。�

• A．-

  1

  2

• B．

  1

  2

• C．-

  1

  3

• D．

  1

  3

Answer 1

分析：根據(jù)題意，當(dāng)直線MA、MB分別與雙曲線相切于點(diǎn)A、B時(shí)，可得∠AMB取得最大值．因此設(shè)直線AM方程為y=k（x-1），與雙曲線聯(lián)解并利用根的判別式，解出k=

2

2

．設(shè)直線AM傾斜角為θ，得∠AMB=2θ且tanθ=

2

2

，最后利用二倍角的三角函數(shù)公式，即可算出∠AMB達(dá)到最大值時(shí)∠AMB的余弦值．

解答：解：根據(jù)題意，當(dāng)直線MA與雙曲線相切于點(diǎn)A，直線MB與雙曲線相切于點(diǎn)B時(shí)，
∠AMB取得最大值．
設(shè)直線AM方程為y=k（x-1），與雙曲線消去y，得
（

1

3

-k²）x²+2k²x-k²-1=0
∵直線MA與雙曲線相切于點(diǎn)A，
∴（2k²）²-4×（

1

3

-k²）×（-k²-1）=0，解之得k=

2

2

（舍負(fù)）
因此，直線AM方程為y=

2

2

（x-1），
同理直線BM方程為y=-

2

2

（x-1），
設(shè)直線AM傾斜角為θ，得tanθ=

2

2

，且∠AMB=2θ
∴cos2θ=

1-tan2θ

1+tan2θ

=

1- 1 2

1+ 1 2

=

1

3

，即為∠AMB最大時(shí)的余弦值
故選：D

點(diǎn)評：本題給出雙曲線方程和點(diǎn)M（1，0），求雙曲線右支上兩點(diǎn)A、B對M的最大張角的余弦之值，著重考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)和直線與雙曲線的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．